Ecuaciones matriciales y sistemas con parámetros

**a) (1,25 puntos) Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 8 & -9 \\ 6 & -7 \end{pmatrix}$, halla las matrices $X$ y $X^{-1}$ tal que $XAX^{-1} = B$.** Partimos de la ecuación $XAX^{-1} = B$. Para evitar trabajar directamente con la inversa en el sistema de ecuaciones, multiplicamos por $X$ por la derecha en ambos miembros: $$(XAX^{-1})X = BX \implies XA(X^{-1}X) = BX \implies XA = BX$$ Definimos una matriz genérica $X = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}$. 💡 **Tip:** Siempre que tengas una ecuación del tipo $XAX^{-1}=B$, es mucho más sencillo resolverla como $XA=BX$ para obtener un sistema de ecuaciones lineales.

Calculamos ambos lados de la igualdad $XA = BX$: $XA = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x & -y \\ 2z & -w \end{pmatrix}$ $BX = \begin{pmatrix} 8 & -9 \\ 6 & -7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8x-9z & 8y-9w \\ 6x-7z & 6y-7w \end{pmatrix}$ Igualamos componente a componente: 1. $2x = 8x - 9z \implies 6x = 9z \implies 2x = 3z$ 2. $-y = 8y - 9w \implies 9y = 9w \implies y = w$ 3. $2z = 6x - 7z \implies 9z = 6x \implies 3z = 2x$ (misma que la 1) 4. $-w = 6y - 7w \implies 6w = 6y \implies w = y$ (misma que la 2) Obtenemos que las condiciones para los elementos de $X$ son $z = \frac{2}{3}x$ y $w = y$.

Para que $X$ sea válida, debe ser invertible, es decir, $|X| \neq 0$. $|X| = xw - yz = xy - y(\frac{2}{3}x) = xy - \frac{2}{3}xy = \frac{1}{3}xy$. Elegimos valores sencillos que cumplan las condiciones y hagan $|X| \neq 0$. Por ejemplo, si **$x=3$** y **$y=1$**: - $z = \frac{2}{3}(3) = 2$ - $w = 1$ Así, una posible matriz $X$ es: $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}}$$ Calculamos su determinante: $|X| = (3 \cdot 1) - (1 \cdot 2) = 1$. Calculamos $X^{-1}$ usando la fórmula $X^{-1} = \frac{1}{|X|} \text{Adj}(X)^T$: 1. Matriz de adjuntos: $\text{Adj}(X) = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ 2. Traspuesta de adjuntos: $\text{Adj}(X)^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ $$\boxed{X^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para una matriz $2 \times 2$, la inversa se halla rápido intercambiando los elementos de la diagonal principal y cambiando el signo de la secundaria, dividiendo por el determinante.

**b) (1,25 puntos) Determina la relación entre $a$ y $b$, con $a, b \in \mathbb{R}$ conocidos, para que el sistema $\begin{cases} 2x + y - 3z = a \\ -2x - y + 3z = b \end{cases}$ sea compatible. ¿Puede ser compatible determinado?.** Escribimos el sistema en forma matricial $M \cdot X = C$: $$M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 \\ -2 & -1 & 3 \end{pmatrix}, \quad M' = \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -3 & a \\ -2 & -1 & 3 & b \end{array} \right)$$ Analizamos el rango de la matriz de coeficientes $M$. Observamos que las filas son proporcionales ($F_2 = -F_1$): $-2 = -1(2), \quad -1 = -1(1), \quad 3 = -1(-3)$. Como hay al menos un elemento distinto de cero, el **rango de $M$ es 1** ($rg(M) = 1$). 💡 **Tip:** Según el Teorema de Rouché-Frobenius, un sistema es compatible si y solo si $rg(M) = rg(M')$.

Para que el sistema sea compatible, el rango de la matriz ampliada $M'$ también debe ser 1. Realizamos la operación elemental $F_2 \to F_2 + F_1$ en $M'$: $$M' \sim \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -3 & a \\ 0 & 0 & 0 & a+b \end{array} \right)$$ Para que $rg(M') = 1$, la última fila debe ser nula por completo, lo que implica que el término independiente debe ser cero: $$a + b = 0 \implies a = -b$$ ✅ **Resultado (relación):** $$\boxed{a = -b}$$ (O equivalentemente $a+b=0$)

Para determinar si puede ser compatible determinado (SCD), recordamos que un SCD requiere que el rango sea igual al número de incógnitas ($n$). En este caso: - Número de incógnitas: $n = 3$ ($x, y, z$). - Rango de $M$: $rg(M) = 1$. Como el rango de $M$ está limitado por el número de filas (2) y en este caso es 1, nunca podrá ser igual a 3. Por lo tanto, si el sistema es compatible, siempre será **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No puede ser compatible determinado porque } rg(M) < 3}$$