Sistemas de ecuaciones matriciales y problemas de producción

**a) (1,25 puntos) Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$. Halla las matrices $X$ e $Y$ soluciones del sistema,** $$ \begin{cases} 2X - 3Y &= A \quad (1) \\ X - Y &= B \quad (2) \end{cases} $$ Para resolver este sistema de ecuaciones matriciales, podemos utilizar los mismos métodos que para los sistemas de ecuaciones lineales escalares (reducción, sustitución o igualación). En este caso, el método de reducción es el más directo. 💡 **Tip:** Recuerda que en las ecuaciones matriciales la suma y la multiplicación por un escalar funcionan igual que con números, pero el orden de los factores en el producto de matrices es crucial (aunque aquí no estamos multiplicando matrices entre sí).

Para eliminar la matriz $X$, multiplicamos la ecuación (2) por $-2$ y sumamos ambas ecuaciones: $$ \begin{cases} 2X - 3Y = A \\ -2X + 2Y = -2B \end{cases} $$ Al sumar término a término: $$ (2X - 2X) + (-3Y + 2Y) = A - 2B $$ $$ -Y = A - 2B \implies Y = 2B - A $$ Calculamos la matriz $Y$ sustituyendo los valores de $A$ y $B$: $$ Y = 2 \cdot \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} $$ $$ Y = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 6 & 12 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2-1 & 0-5 \\ 6-4 & 12-2 \end{pmatrix} $$ ✅ **Resultado parcial (Matriz Y):** $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} -3 & -5 \\ 2 & 10 \end{pmatrix}}$$

Utilizamos la ecuación (2) original, despejando $X$ por ser el camino más sencillo: $$ X - Y = B \implies X = B + Y $$ Sustituimos las matrices conocidas: $$ X = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 & -5 \\ 2 & 10 \end{pmatrix} $$ $$ X = \begin{pmatrix} -1 + (-3) & 0 + (-5) \\ 3 + 2 & 6 + 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -5 \\ 5 & 16 \end{pmatrix} $$ ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -4 & -5 \\ 5 & 16 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} -3 & -5 \\ 2 & 10 \end{pmatrix}}$$

**b) (1,25 puntos) En una fábrica se produce queso y mantequilla. Para fabricar una unidad de queso se precisan 10 unidades de leche y 6 horas de mano de obra. Para la mantequilla, se necesitan 5 unidades de leche y 8 horas de mano de obra por unidad. Sabiendo que tenemos disponibles cada día 100000 unidades de leche y 110000 horas de mano de obra, calcular la producción posible de queso y de mantequilla considerando que utilizamos todo lo disponible.** Primero definimos las incógnitas: - $x$: unidades de queso producidas. - $y$: unidades de mantequilla producidas. Traducimos las restricciones a un sistema de ecuaciones lineales basándonos en el uso total de los recursos: 1. **Leche:** $10x + 5y = 100,000$ 2. **Mano de obra:** $6x + 8y = 110,000$ 💡 **Tip:** Siempre define claramente qué representa cada variable antes de escribir las ecuaciones para evitar errores de interpretación.

Simplificamos la primera ecuación dividiéndola por 5 para facilitar los cálculos: $$ (1) \quad 2x + y = 20,000 \implies y = 20,000 - 2x $$ Sustituimos esta expresión de $y$ en la segunda ecuación: $$ 6x + 8(20,000 - 2x) = 110,000 $$ $$ 6x + 160,000 - 16x = 110,000 $$ $$ -10x = 110,000 - 160,000 $$ $$ -10x = -50,000 \implies x = 5,000 $$ Ahora calculamos $y$: $$ y = 20,000 - 2(5,000) = 20,000 - 10,000 = 10,000 $$ Comprobamos en la segunda ecuación: $6(5,000) + 8(10,000) = 30,000 + 80,000 = 110,000$. Es correcto.

Para agotar todos los recursos diarios disponibles, la fábrica debe producir exactamente las cantidades halladas. ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{\text{Se deben producir 5,000 unidades de queso y 10,000 unidades de mantequilla}}$$