Área encerrada por una parábola y el eje de abscisas

**2.2 (2,5 puntos) Sea la curva $y = Ax - x^2, A \in \mathbb{R}^+$. Determina el valor de $A$ para que el área encerrada entre la curva $y$ y el eje de abcisas sea 36. Representa la curva.** Para determinar el área encerrada entre la curva y el eje de abscisas ($y=0$), primero debemos encontrar los puntos de corte de la función con dicho eje. Estos puntos serán los límites de integración. Igualamos la función a cero: $$Ax - x^2 = 0$$ Factorizamos la expresión: $$x(A - x) = 0$$ Las soluciones son: 1. $x = 0$ 2. $A - x = 0 \implies x = A$ Como el enunciado indica que $A \in \mathbb{R}^+$, sabemos que $A > 0$. Por lo tanto, los puntos de corte son **$x = 0$** y **$x = A$**. 💡 **Tip:** En una función cuadrática de la forma $y = ax^2 + bx + c$, si el coeficiente $a$ es negativo (como en este caso, $a = -1$), la parábola está abierta hacia abajo. Al estar los cortes en $0$ y $A$, la función será positiva en el intervalo $(0, A)$.

El área encerrada $S$ se calcula mediante la integral definida de la función entre los límites hallados. Dado que la parábola es cóncava hacia abajo y sus raíces son $0$ y $A$ (con $A > 0$), la curva queda por encima del eje $OX$ en ese intervalo. El área viene dada por: $$S = \int_{0}^{A} (Ax - x^2) \, dx = 36$$ Calculamos la integral indefinida primero: $$\int (Ax - x^2) \, dx = A \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de una potencia es $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$.

Aplicamos la **Regla de Barrow** para evaluar la integral definida entre $0$ y $A$: $$\left[ \frac{Ax^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{A} = 36$$ Sustituimos los límites: $$\left( \frac{A(A)^2}{2} - \frac{A^3}{3} \right) - \left( \frac{A(0)^2}{2} - \frac{0^3}{3} \right) = 36$$ $$\frac{A^3}{2} - \frac{A^3}{3} = 36$$ Para restar las fracciones, buscamos un denominador común (6): $$\frac{3A^3 - 2A^3}{6} = 36 \implies \frac{A^3}{6} = 36$$ Despejamos $A$: $$A^3 = 36 \cdot 6 = 216$$ $$A = \sqrt[3]{216} = 6$$ Como $A = 6$ es un valor real positivo, cumple con la condición $A \in \mathbb{R}^+$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = 6}$$

Para representar la curva con el valor hallado $A = 6$, la función es: $$y = 6x - x^2$$ Se trata de una parábola con las siguientes características: - **Puntos de corte con el eje OX:** $(0, 0)$ y $(6, 0)$. - **Vértice:** La abscisa del vértice es $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2(-1)} = 3$. La ordenada es $y_v = 6(3) - 3^2 = 18 - 9 = 9$. El vértice está en **$(3, 9)$**. - **Orientación:** Al ser $a = -1 < 0$, es cóncava hacia abajo. A continuación, se muestra la representación gráfica de la región cuyo área es $36$ unidades cuadradas.