Optimización: Área máxima de un campo de atletismo

Para resolver este problema de optimización, lo primero es identificar las dimensiones del campo y definir las variables. Sea: - $x$: la longitud de los lados rectos del rectángulo (en km). - $y$: el ancho del rectángulo, que coincide con el diámetro de los semicírculos (en km). - $r$: el radio de los semicírculos, donde $r = \dfrac{y}{2}$. El campo está formado por un rectángulo de lados $x$ e $y$, y dos semicírculos en los extremos que, juntos, forman una circunferencia completa de radio $r$. La función que queremos maximizar es el **área de la parte rectangular**: $$A(x, y) = x \cdot y$$ 💡 **Tip:** Dibuja un esquema mental: el perímetro total incluye los dos tramos rectos ($2x$) y la longitud de los dos semicirculos (que forman una circunferencia de longitud $2\pi r$ o $\pi y$).

El enunciado indica que el perímetro total del campo es de $1$ km. El perímetro $P$ es la suma de los dos lados rectos y la longitud de la circunferencia formada por los dos semicírculos: $$P = 2x + \pi y = 1$$ De esta ecuación podemos despejar una de las variables para expresar el área en función de una sola incógnita. Despejamos $y$: $$\pi y = 1 - 2x \implies y = \frac{1 - 2x}{\pi}$$ **Restricciones del dominio:** Como $x$ e $y$ son dimensiones físicas, deben ser mayores que cero: - $x \gt 0$ - $y \gt 0 \implies 1 - 2x \gt 0 \implies x \lt 0,5$ Por tanto, el dominio de nuestra función será $x \in (0, \, 0,5)$.

Sustituimos la expresión de $y$ en la función del área $A = x \cdot y$: $$A(x) = x \cdot \left( \frac{1 - 2x}{\pi} \right) = \frac{x - 2x^2}{\pi}$$ Ahora tenemos una función cuadrática que depende únicamente de $x$: $$A(x) = \frac{1}{\pi}(x - 2x^2)$$ 💡 **Tip:** En los problemas de optimización, siempre intentamos reducir la función objetivo a una sola variable usando los datos de restricción del enunciado.

Para hallar el máximo, derivamos la función $A(x)$ con respecto a $x$ e igualamos a cero: $$A'(x) = \frac{1}{\pi}(1 - 4x)$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$A'(x) = 0 \implies 1 - 4x = 0 \implies 4x = 1 \implies x = \frac{1}{4} = 0,25 \text{ km}$$ Este es nuestro candidato a máximo relativo.

Para asegurar que $x = 0,25$ es un máximo, utilizamos el criterio de la segunda derivada: $$A''(x) = \frac{1}{\pi}(0 - 4) = -\frac{4}{\pi}$$ Como $A''(0,25) = -\dfrac{4}{\pi} \lt 0$, la función es cóncava hacia abajo en todo su dominio, lo que confirma que en $x = 0,25$ existe un **máximo absoluto**. También podemos analizar el signo de $A'(x)$: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 0,25) & 0,25 & (0,25, 0,5) \\ \hline A'(x) & + & 0 & - \\ A(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array} $$

Una vez hallado $x$, calculamos el valor de la otra dimensión $y$ sustituyendo en la ecuación del paso 2: $$y = \frac{1 - 2(0,25)}{\pi} = \frac{1 - 0,5}{\pi} = \frac{0,5}{\pi} = \frac{1}{2\pi} \text{ km}$$ Si pasamos los resultados a metros para una mejor interpretación: - $x = 0,25 \text{ km} = \mathbf{250 \text{ m}}$ - $y = \dfrac{1}{2\pi} \text{ km} \approx 0,15915 \text{ km} \approx \mathbf{159,15 \text{ m}}$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Longitud del lado recto: } 250 \text{ m}, \quad \text{Ancho del rectángulo: } \frac{500}{\pi} \approx 159,15 \text{ m}}$$