Distribución Normal: Vida útil de focos

**a) la desviación típica de la distribución, (1 punto).** Sea $X$ la variable aleatoria que representa el tiempo de vida de los focos en horas. El enunciado indica que $X$ sigue una distribución normal de media $\mu = 2000$ y desviación típica $\sigma$ desconocida: $$X \sim N(2000, \sigma)$$ Se nos da el dato de que $P(X \gt 1800) = 0.8289$. Para trabajar con la tabla de la distribución normal estándar, debemos tipificar la variable utilizando la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$: $$P\left( Z \gt \frac{1800 - 2000}{\sigma} \right) = 0.8289$$ $$P\left( Z \gt \frac{-200}{\sigma} \right) = 0.8289$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para tipificar restamos la media y dividimos por la desviación típica. Como el valor de la probabilidad es mayor que $0.5$, el punto de corte en la normal estándar debe ser negativo.

Utilizando las propiedades de simetría de la normal estándar $P(Z \gt -z) = P(Z \lt z)$: $$P\left( Z \lt \frac{200}{\sigma} \right) = 0.8289$$ Buscamos en la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$ el valor de $z$ cuya probabilidad acumulada es $0.8289$. Observamos que: $$P(Z \lt 0.95) = 0.8289$$ Por lo tanto, igualamos el valor tipificado con el valor de la tabla: $$\frac{200}{\sigma} = 0.95$$ Despejamos $\sigma$: $$\sigma = \frac{200}{0.95} \approx 210.53$$ ✅ **Resultado (desviación típica):** $$\boxed{\sigma = 210.53 \text{ horas}}$$

**b) cuántas horas de vida debe tener un foco para estar en el percentil 90, (0,5 puntos).** El percentil 90 ($P_{90}$) es el valor $x$ tal que el $90\%$ de la distribución queda por debajo. Es decir: $$P(X \le x) = 0.90$$ Tipificamos la variable con los parámetros hallados: $\mu = 2000$ y $\sigma = 210.53$: $$P\left( Z \le \frac{x - 2000}{210.53} \right) = 0.90$$ Buscamos en la tabla el valor de $z$ que corresponde a una probabilidad de $0.90$. El valor más aproximado (o el estándar usado en Bachillerato) es $z = 1.28$: $$\frac{x - 2000}{210.53} = 1.28$$ Calculamos $x$: $$x = 2000 + (1.28 \cdot 210.53)$$ $$x = 2000 + 269.4784 = 2269.48$$ 💡 **Tip:** El percentil 90 siempre será un valor superior a la media en una distribución normal, ya que la media deja el $50\%$ a cada lado. ✅ **Resultado (percentil 90):** $$\boxed{x = 2269.48 \text{ horas}}$$

**c) el porcentaje de focos que no tendrán una duración aceptable, considerando como duración aceptable al menos 1600 horas, (1 punto).** Una duración es aceptable si $X \ge 1600$. Por tanto, un foco **no tiene una duración aceptable** si $X \lt 1600$. Debemos calcular $P(X \lt 1600)$: Tipificamos: $$P(X \lt 1600) = P\left( Z \lt \frac{1600 - 2000}{210.53} \right)$$ $$P(X \lt 1600) = P(Z \lt -1.90)$$ Por simetría: $$P(Z \lt -1.90) = P(Z \gt 1.90) = 1 - P(Z \le 1.90)$$ Buscamos en la tabla el valor para $1.90$: $$P(Z \le 1.90) = 0.9713$$ Calculamos la probabilidad final: $$P = 1 - 0.9713 = 0.0287$$ Para expresar el resultado como porcentaje, multiplicamos por 100: $$\% = 0.0287 \cdot 100 = 2.87\%$$ ✅ **Resultado (porcentaje):** $$\boxed{2.87\%}$$