Área entre parábola y recta en el primer cuadrante

**(a) (1,25 puntos) Dibuja el recinto limitado por esas dos curvas.** Para dibujar el recinto, lo primero es encontrar los puntos donde se cruzan la parábola $y = x^2 - 3x$ y la recta $y = 8 - x$. Igualamos ambas expresiones: $$x^2 - 3x = 8 - x$$ $$x^2 - 2x - 8 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}$$ Obtenemos dos valores de $x$: - $x_1 = \frac{8}{2} = 4 \implies y_1 = 8 - 4 = 4$ - $x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \implies y_2 = 8 - (-2) = 10$ Los puntos de corte son **$(-2, 10)$** y **$(4, 4)$**. 💡 **Tip:** Calcular los puntos de corte es fundamental para establecer los límites de integración y centrar el dibujo.

Para dibujar la parábola $f(x) = x^2 - 3x$, identificamos sus elementos clave: - **Vértice:** $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{3}{2} = 1,5$. La ordenada es $y_v = (1,5)^2 - 3(1,5) = 2,25 - 4,5 = -2,25$. Vértice en $(1,5; -2,25)$. - **Puntos de corte con el eje X:** $x^2 - 3x = 0 \implies x(x-3) = 0$, que son $x=0$ y $x=3$. La recta $g(x) = 8 - x$ pasa por los puntos de corte hallados anteriormente y, por ejemplo, por $(0, 8)$ y $(8, 0)$. El recinto limitado es la región comprendida entre estas dos funciones desde $x = -2$ hasta $x = 4$.

**(b) (1,25 puntos) Calcula el área del trozo de ese recinto que queda en el primer cuadrante.** El "recinto" es la zona sombreada en el paso anterior. Sin embargo, nos piden solo la parte situada en el **primer cuadrante** ($x \ge 0$ e $y \ge 0$). Observando las funciones en el intervalo $x \in [0, 4]$: 1. En el intervalo $[0, 3]$, la parábola $y = x^2 - 3x$ queda **por debajo** del eje X ($y \le 0$). Como el primer cuadrante requiere $y \ge 0$, el recinto en esta parte está limitado superiormente por la recta e inferiormente por el **eje X** ($y=0$). 2. En el intervalo $[3, 4]$, la parábola ya es positiva. El recinto está limitado superiormente por la recta e inferiormente por la **parábola**. Por tanto, dividimos el área en dos integrales: $$A = \int_0^3 (8-x) \, dx + \int_3^4 ((8-x) - (x^2-3x)) \, dx$$ 💡 **Tip:** Es un error común integrar la diferencia de funciones desde $0$ a $4$ sin mirar si la función inferior se sale del cuadrante (pasa a ser negativa).

Calculamos el área bajo la recta desde $x=0$ hasta $x=3$: $$A_1 = \int_0^3 (8-x) \, dx = \left[ 8x - \frac{x^2}{2} \right]_0^3$$ Aplicando la **Regla de Barrow**: $$A_1 = \left( 8(3) - \frac{3^2}{2} \right) - (0) = 24 - \frac{9}{2} = \frac{48-9}{2} = \frac{39}{2} = 19,5 \text{ unidades}^2$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow dice que $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, siendo $F$ una primitiva de $f$.

Calculamos el área entre la recta y la parábola desde $x=3$ hasta $x=4$: $$A_2 = \int_3^4 (8 - x - (x^2 - 3x)) \, dx = \int_3^4 (-x^2 + 2x + 8) \, dx$$ Calculamos la primitiva e integramos: $$A_2 = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 8x \right]_3^4$$ Aplicamos Barrow: - Para $x=4$: $-\frac{64}{3} + 16 + 32 = -\frac{64}{3} + 48 = \frac{-64+144}{3} = \frac{80}{3}$ - Para $x=3$: $-\frac{27}{3} + 9 + 24 = -9 + 9 + 24 = 24$ $$A_2 = \frac{80}{3} - 24 = \frac{80 - 72}{3} = \frac{8}{3} \approx 2,67 \text{ unidades}^2$$

El área total en el primer cuadrante es la suma de las dos áreas calculadas: $$A = A_1 + A_2 = \frac{39}{2} + \frac{8}{3}$$ Buscamos denominador común (6): $$A = \frac{117}{6} + \frac{16}{6} = \frac{133}{6} \approx 22,17 \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{133}{6} \approx 22,17 \text{ u}^2}$$