Cálculo de integrales indefinidas

**(a) (1,25 puntos) $\int (2x + 5)e^{2x} dx$.** Esta integral consiste en el producto de un polinomio $(2x+5)$ por una función exponencial $e^{2x}$. El método más adecuado para resolverla es la **integración por partes**. Elegimos las partes según la regla **ALPES**: - $u = 2x + 5 \implies du = 2 dx$ - $dv = e^{2x} dx \implies v = \int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}$ 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla nemotécnica común es: "Un Valiente Soldado Vestido De Uniforme".

Sustituimos en la fórmula: $$\int (2x + 5)e^{2x} dx = (2x + 5) \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} \cdot 2 dx$$ Simplificamos el producto dentro de la nueva integral: $$\frac{2x + 5}{2}e^{2x} - \int e^{2x} dx$$ Ahora calculamos la integral restante, que es inmediata: $$\frac{2x + 5}{2}e^{2x} - \frac{1}{2}e^{2x} + C$$ Finalmente, podemos factorizar para dar una solución más elegante: $$\left(\frac{2x + 5}{2} - \frac{1}{2}\right)e^{2x} + C = \left(\frac{2x + 4}{2}\right)e^{2x} + C = (x + 2)e^{2x} + C$$ ✅ **Resultado final (a):** $$\boxed{\int (2x + 5)e^{2x} dx = (x + 2)e^{2x} + C}$$

**(b) (1,25 puntos) $\int \frac{x + 7}{x^2 + 10x + 25} dx$.** Estamos ante una **integral racional** donde el grado del numerador es menor que el del denominador. Lo primero que debemos hacer es factorizar el denominador para ver sus raíces. Resolvemos $x^2 + 10x + 25 = 0$: $$x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$ El denominador tiene una **raíz real doble** $x = -5$. Por lo tanto: $$x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$$ 💡 **Tip:** Siempre que identifiques una identidad notable del tipo $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$, la factorización es inmediata. Aquí $x^2 + 2(5)x + 5^2 = (x+5)^2$.

Al tener una raíz real doble, planteamos la descomposición de la siguiente forma: $$\frac{x + 7}{(x + 5)^2} = \frac{A}{x + 5} + \frac{B}{(x + 5)^2}$$ Multiplicamos toda la expresión por $(x + 5)^2$ para hallar $A$ y $B$: $$x + 7 = A(x + 5) + B$$ Para hallar los valores, damos valores a $x$: - Si $x = -5 \implies -5 + 7 = B \implies \mathbf{B = 2}$ - Si $x = 0 \implies 0 + 7 = A(5) + 2 \implies 5 = 5A \implies \mathbf{A = 1}$ Por tanto, la integral se desglosa en: $$\int \frac{x + 7}{x^2 + 10x + 25} dx = \int \frac{1}{x + 5} dx + \int \frac{2}{(x + 5)^2} dx$$

Resolvemos cada una por separado: 1. La primera es un logaritmo neperiano: $$\int \frac{1}{x + 5} dx = \ln|x + 5|$$ 2. La segunda es una potencia (tipo $\int u^n du$): $$\int \frac{2}{(x + 5)^2} dx = 2 \int (x+5)^{-2} dx = 2 \cdot \frac{(x+5)^{-1}}{-1} = -\frac{2}{x + 5}$$ Sumamos los resultados y añadimos la constante de integración: $$\ln|x + 5| - \frac{2}{x + 5} + C$$ ✅ **Resultado final (b):** $$\boxed{\ln|x + 5| - \frac{2}{x + 5} + C}$$