Optimización de una taza cilíndrica

**(a) (1,5 puntos) Calcula las especificaciones de medidas que deben enviar a fabricación para lograr el objetivo.** En primer lugar, definimos las variables de nuestro cilindro: - $r$: radio de la base (en cm). - $h$: altura de la taza (en cm). El enunciado nos indica que el volumen $V$ debe ser $216\pi$ cm$^3$. La fórmula del volumen de un cilindro es $V = \pi r^2 h$. Por tanto: $$\pi r^2 h = 216\pi$$ Podemos simplificar $\pi$ en ambos lados y despejar una variable (normalmente la altura $h$ es más sencillo) en función de la otra: $$r^2 h = 216 \implies h = \frac{216}{r^2}$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable despejar la variable que facilite las operaciones posteriores en la función objetivo. $$\boxed{h = \frac{216}{r^2}}$$

Para que la fabricación sea lo más económica posible, debemos minimizar la cantidad de material empleado, es decir, el área de la superficie de la taza. Una taza es un cilindro abierto por arriba, por lo que su superficie $S$ consta de la base (un círculo) y el área lateral: $$S = \text{Área base} + \text{Área lateral} = \pi r^2 + 2\pi r h$$ Sustituimos la expresión de $h$ que hallamos anteriormente para obtener una función que dependa solo de $r$: $$S(r) = \pi r^2 + 2\pi r \left( \frac{216}{r^2} \right) = \pi r^2 + \frac{432\pi}{r}$$ El dominio de esta función para nuestro problema es $r \in (0, +\infty)$. $$\boxed{S(r) = \pi r^2 + \frac{432\pi}{r}}$$

Para hallar los extremos relativos, derivamos $S(r)$ con respecto a $r$ e igualamos a cero: $$S'(r) = 2\pi r - \frac{432\pi}{r^2}$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$2\pi r - \frac{432\pi}{r^2} = 0 \implies 2\pi r = \frac{432\pi}{r^2}$$ $$r^3 = \frac{432\pi}{2\pi} \implies r^3 = 216$$ $$r = \sqrt[3]{216} = 6 \text{ cm}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\frac{1}{x}$ es $-\frac{1}{x^2}$. Aquí hemos usado la regla de la potencia para derivar $\frac{432\pi}{r}$ como $432\pi \cdot r^{-1}$. $$\boxed{r = 6 \text{ cm}}$$

Estudiamos el signo de la primera derivada para confirmar que en $r = 6$ hay un mínimo: $$\begin{array}{c|ccc} r & (0,6) & 6 & (6,+\infty)\\ \hline S'(r) & - & 0 & + \\ \text{Comportamiento} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - Si $r=1$: $S'(1) = 2\pi - 432\pi < 0$ (Decreciente). - Si $r=10$: $S'(10) = 20\pi - 4,32\pi > 0$ (Creciente). Como la función pasa de decrecer a crecer, existe un **mínimo absoluto** en $r = 6$. Calculamos la altura correspondiente: $$h = \frac{216}{6^2} = \frac{216}{36} = 6 \text{ cm}$$ Las medidas de fabricación son un radio de $6$ cm y una altura de $6$ cm. ✅ **Resultado:** $$\boxed{r = 6 \text{ cm}, \quad h = 6 \text{ cm}}$$

**(b) (1 punto) Las tazas irán coloreadas por el exterior con un material cuyo coste es de 3 €/m$^2$. Calcula el coste de imprimación de una taza.** Primero calculamos el área exterior de la taza con las medidas obtenidas ($r=6, h=6$): $$S = \pi (6)^2 + 2\pi (6)(6) = 36\pi + 72\pi = 108\pi \text{ cm}^2$$ $$S \approx 108 \cdot 3,1416 = 339,292 \text{ cm}^2$$ Como el precio nos lo dan en €/m$^2$, debemos pasar el área a metros cuadrados: $$1 \text{ m}^2 = 10.000 \text{ cm}^2 \implies S = \frac{108\pi}{10.000} \text{ m}^2 = 0,0108\pi \text{ m}^2$$ $$S \approx 0,03393 \text{ m}^2$$ Finalmente, calculamos el coste multiplicando por el precio unitario: $$\text{Coste} = 0,03393 \text{ m}^2 \cdot 3 \text{ €/m}^2 \approx 0,10179 \text{ €}$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con el cambio de unidades. Al ser superficies, el factor de conversión entre cm$^2$ y m$^2$ es $10^4$ (o $100^2$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Coste} \approx 0,10 \text{ € por taza}}$$