Estudio de una función racional: asíntotas, monotonía y recta tangente

**(a) (1 punto) Encuentra las asíntotas de la función $f$.** Primero determinamos el dominio de la función igualando el denominador a cero: $$x^2 - 3x - 4 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$$ Las raíces son $x_1 = 4$ y $x_2 = -1$. Por tanto, $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 4\}$. Calculamos los límites laterales en estos puntos para confirmar las asíntotas verticales: - En $x = -1$: $$\lim_{x \to -1} \frac{x}{x^2 - 3x - 4} = \frac{-1}{0} = \infty \implies \mathbf{x = -1 \text{ es AV}}$$ - En $x = 4$: $$\lim_{x \to 4} \frac{x}{x^2 - 3x - 4} = \frac{4}{0} = \infty \implies \mathbf{x = 4 \text{ es AV}}$$ 💡 **Tip:** Las asíntotas verticales de una función racional suelen encontrarse en los valores que anulan el denominador pero no el numerador.

Para las asíntotas horizontales, calculamos el límite de la función cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2 - 3x - 4} = 0$$ Al ser el grado del denominador mayor que el del numerador, el límite es 0. Por tanto, existe una asíntota horizontal en: $$\mathbf{y = 0}$$ Como existe una asíntota horizontal, **no existen asíntotas oblicuas**. ✅ **Resultado (asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: } x = -1, x = 4; \quad \text{AH: } y = 0; \quad \text{AO: No hay}}$$

**(b) (1 punto) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f$.** Calculamos la derivada $f'(x)$ utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(1)(x^2 - 3x - 4) - (x)(2x - 3)}{(x^2 - 3x - 4)^2}$$ Simplificamos el numerador: $$f'(x) = \frac{x^2 - 3x - 4 - 2x^2 + 3x}{(x^2 - 3x - 4)^2} = \frac{-x^2 - 4}{(x^2 - 3x - 4)^2}$$ Buscamos los puntos críticos haciendo $f'(x) = 0$: $$-x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = -4$$ Esta ecuación no tiene soluciones reales, por lo que no hay máximos ni mínimos relativos. 💡 **Tip:** Recuerda la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Para determinar la monotonía, estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos de no dominio ($x = -1$ y $x = 4$). Observamos que el numerador $(-x^2 - 4)$ es siempre negativo para cualquier $x \in \mathbb{R}$. El denominador $(x^2 - 3x - 4)^2$, al estar elevado al cuadrado, es siempre positivo en el dominio. $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -1) & (-1, 4) & (4, +\infty) \\\hline -x^2 - 4 & - & - & - \\ (x^2 - 3x - 4)^2 & + & + & + \\\hline f'(x) & - & - & - \end{array}$$ Dado que $f'(x) \lt 0$ en todo su dominio, la función es estrictamente decreciente. ✅ **Resultado (monotonía):** $$\boxed{\text{Decreciente en: } (-\infty, -1) \cup (-1, 4) \cup (4, +\infty)}$$

**(c) (0,5 puntos) Calcula la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.** Necesitamos el punto de tangencia $(0, f(0))$ y la pendiente $m = f'(0)$. 1. Calculamos la imagen de $x = 0$: $$f(0) = \frac{0}{0^2 - 3(0) - 4} = 0$$ El punto es $(0, 0)$. 2. Calculamos la pendiente en $x = 0$ usando $f'(x) = \frac{-x^2 - 4}{(x^2 - 3x - 4)^2}$: $$m = f'(0) = \frac{-0^2 - 4}{(0^2 - 3(0) - 4)^2} = \frac{-4}{(-4)^2} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}$$ 3. Aplicamos la ecuación punto-pendiente $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$: $$y - 0 = -\frac{1}{4}(x - 0) \implies y = -\frac{1}{4}x$$ ✅ **Resultado (recta tangente):** $$\boxed{y = -\frac{1}{4}x}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=\\frac{x}{x^2-3x-4}", "color": "#2563eb" }, { "id": "va1", "latex": "x=-1", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "va2", "latex": "x=4", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "ha", "latex": "y=0", "color": "#16a34a", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "tangente", "latex": "y=-0.25x", "color": "#9333ea" }, { "id": "punto", "latex": "(0,0)", "color": "#111827", "showLabel": true } ], "bounds": { "left": -6, "right": 9, "bottom": -5, "top": 5 } } }