Ángulo e intersección entre recta y plano

**(a) (1,5 puntos) Calcula el ángulo entre el plano $\pi$ y la recta $r$, expresando el resultado en grados, minutos y segundos.** Para definir el plano $\pi$ necesitamos un punto y su vector normal. El vector normal $\vec{n}_{\pi}$ se puede obtener mediante el producto vectorial de dos vectores contenidos en el plano, por ejemplo, $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. Calculamos los vectores: $$\vec{AB} = B - A = (3-2, -1-3, -2-4) = (1, -4, -6)$$ $$\vec{AC} = C - A = (5-2, -1-3, 2-4) = (3, -4, -2)$$ Realizamos el producto vectorial paso a paso: $$\vec{n}_{\pi} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -4 & -6 \\ 3 & -4 & -2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{n}_{\pi} = [(-4)(-2) - (-6)(-4)]\vec{i} - [1(-2) - (-6)3]\vec{j} + [1(-4) - (-4)3]\vec{k}$$ $$\vec{n}_{\pi} = (8 - 24)\vec{i} - (-2 + 18)\vec{j} + (-4 + 12)\vec{k} = (-16, -16, 8)$$ Para facilitar los cálculos, podemos usar un vector proporcional más sencillo dividiendo por $-8$: $$\vec{n}_{\pi} = (2, 2, -1)$$ 💡 **Tip:** Cualquier vector paralelo al vector normal también es normal al plano. Simplificar las coordenadas reduce la probabilidad de errores aritméticos posteriores. $$\boxed{\vec{n}_{\pi} = (2, 2, -1)}$$

La recta $r$ pasa por los puntos $D$ y $E$. Su vector director $\vec{d}_r$ será el vector que une ambos puntos: $$\vec{d}_r = \vec{DE} = E - D = (7-6, 1-(-5), 4-(-4)) = (1, 6, 8)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la recta queda definida por un punto (usaremos $D$) y un vector director. $$\boxed{\vec{d}_r = (1, 6, 8)}$$

El ángulo $\alpha$ entre una recta y un plano se calcula mediante el seno (a diferencia del ángulo entre dos planos o dos rectas, que usa el coseno), relacionando el vector director de la recta y el normal del plano: $$\sin \alpha = \frac{|\vec{n}_{\pi} \cdot \vec{d}_r|}{|\vec{n}_{\pi}| \cdot |\vec{d}_r|}$$ Calculamos el producto escalar y los módulos: 1. Producto escalar: $|(2, 2, -1) \cdot (1, 6, 8)| = |2 + 12 - 8| = |6| = 6$ 2. Módulo de $\vec{n}_{\pi}$: $|\vec{n}_{\pi}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$ 3. Módulo de $\vec{d}_r$: $|\vec{d}_r| = \sqrt{1^2 + 6^2 + 8^2} = \sqrt{1+36+64} = \sqrt{101}$ Sustituimos: $$\sin \alpha = \frac{6}{3 \cdot \sqrt{101}} = \frac{2}{\sqrt{101}} \approx 0.1990$$ Calculamos el ángulo: $$\alpha = \arcsin(0.1990) \approx 11.48057^\circ$$ Convertimos a grados, minutos y segundos: - Grados: $11^\circ$ - Minutos: $0.48057 \cdot 60 = 28.834 \rightarrow 28'$ - Segundos: $0.834 \cdot 60 \approx 50''$ ✅ **Resultado (ángulo):** $$\boxed{\alpha = 11^\circ 28' 50''}$$

**(b) (1 punto) En caso de que $r$ y $\pi$ se corten, calcula el punto de intersección. En caso contrario, calcula la distancia entre la recta $r$ y el plano $\pi$.** Primero, comprobamos si se cortan. Como el ángulo calculado en el apartado anterior es distinto de $0^\circ$ (el producto escalar $\vec{n}_{\pi} \cdot \vec{d}_r \neq 0$), la recta y el plano **se cortan en un único punto**. Necesitamos la ecuación implícita del plano $\pi$: $2x + 2y - z + D = 0$. Sustituimos el punto $A(2, 3, 4)$: $$2(2) + 2(3) - 4 + D = 0 \implies 4 + 6 - 4 + D = 0 \implies D = -6$$ La ecuación del plano es $\pi: 2x + 2y - z - 6 = 0$. Escribimos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas usando el punto $D(6, -5, -4)$ y el vector $\vec{d}_r(1, 6, 8)$: $$r: \begin{cases} x = 6 + \lambda \\ y = -5 + 6\lambda \\ z = -4 + 8\lambda \end{cases}$$ Sustituimos las expresiones de $r$ en la ecuación del plano para hallar el valor del parámetro $\lambda$ en el punto de corte: $$2(6 + \lambda) + 2(-5 + 6\lambda) - (-4 + 8\lambda) - 6 = 0$$ $$12 + 2\lambda - 10 + 12\lambda + 4 - 8\lambda - 6 = 0$$ $$(2 + 12 - 8)\lambda + (12 - 10 + 4 - 6) = 0$$ $$6\lambda + 0 = 0 \implies \lambda = 0$$ Sustituimos $\lambda = 0$ en las ecuaciones de la recta: $$x = 6 + 0 = 6, \quad y = -5 + 0 = -5, \quad z = -4 + 0 = -4$$ 💡 **Tip:** Si al sustituir la recta en el plano obtienes una identidad (0=0), la recta está contenida. Si obtienes una contradicción (0=k), son paralelos. ✅ **Resultado (punto de intersección):** $$\boxed{P(6, -5, -4)}$$ *(Nota: Observa que el punto de intersección coincide exactamente con el punto $D$ dado en el enunciado)*