Simétrico de un punto respecto de una recta

Para hallar el punto simétrico de $P$ respecto de una recta $r$, primero necesitamos la ecuación de dicha recta. La recta $r$ pasa por los puntos $A(-2, 0, 1)$ y $B(-2, -1, 0)$. Usaremos el punto $A$ y el vector director $\vec{v_r} = \vec{AB}$: $$\vec{v_r} = B - A = (-2 - (-2), -1 - 0, 0 - 1) = (0, -1, -1).$$ Para facilitar los cálculos, podemos usar el vector proporcional $\vec{d_r} = (0, 1, 1)$. La ecuación paramétrica de la recta $r$ es: $$r: \begin{cases} x = -2 \\ y = \lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta que pasa por dos puntos $A$ y $B$ siempre se obtiene restando sus coordenadas: $\vec{v} = \vec{AB} = B - A$.

El método más didáctico para hallar el simétrico consiste en proyectar el punto $P$ sobre la recta. Para ello, construimos un plano $\pi$ que sea perpendicular a $r$ y que pase por el punto $P(4, -3, 0)$. Como $\pi \perp r$, el vector normal del plano $\vec{n_\pi}$ será el vector director de la recta $\vec{d_r} = (0, 1, 1)$. La ecuación general del plano es de la forma $0x + 1y + 1z + D = 0$, es decir, $y + z + D = 0$. Para hallar $D$, sustituimos el punto $P(4, -3, 0)$ en la ecuación: $$(-3) + (0) + D = 0 \implies D = 3.$$ La ecuación del plano auxiliar es: $$\boxed{\pi: y + z + 3 = 0}$$

El punto $M$ es la intersección entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Este punto es la proyección ortogonal de $P$ sobre $r$, y será el punto medio del segmento $PP'$. Sustituimos las expresiones de $r$ en la ecuación de $\pi$: $$(y) + (z) + 3 = 0 \implies (\lambda) + (1 + \lambda) + 3 = 0.$$ Resolviendo para $\lambda$: $$2\lambda + 4 = 0 \implies 2\lambda = -4 \implies \lambda = -2.$$ Ahora hallamos las coordenadas de $M$ sustituyendo $\lambda = -2$ en las ecuaciones de la recta $r$: $$x_M = -2$$ $$y_M = -2$$ $$z_M = 1 + (-2) = -1$$ $$\boxed{M(-2, -2, -1)}$$ 💡 **Tip:** El punto de intersección entre recta y plano se halla sustituyendo las coordenadas paramétricas de la recta en la ecuación implícita del plano.

Sabemos que $M$ es el punto medio entre $P(4, -3, 0)$ y su simétrico $P'(x', y', z')$. Por la fórmula del punto medio: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P.$$ Calculamos componente a componente: $$x' = 2(-2) - 4 = -4 - 4 = -8$$ $$y' = 2(-2) - (-3) = -4 + 3 = -1$$ $$z' = 2(-1) - 0 = -2$$ Por lo tanto, el punto simétrico es **$P'(-8, -1, -2)$**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P'(-8, -1, -2)}$$