Invertibilidad y potencias de matrices con parámetros

**(a) (0,5 puntos) Encuentra los valores del parámetro $\alpha$ para los que existe la matriz inversa de $A$.** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$. Dado que la primera columna tiene dos ceros, lo más sencillo es desarrollar por los elementos de esa columna: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & \alpha & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & \alpha & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ \alpha & 1 \end{vmatrix} - 0 + 0 = 1 \cdot (1 - \alpha) = 1 - \alpha.$$ Para que exista $A^{-1}$: $$|A| \neq 0 \implies 1 - \alpha \neq 0 \implies \alpha \neq 1.$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz con muchos ceros siempre es más fácil de calcular desarrollando por la fila o columna que más ceros contenga. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existe } A^{-1} \text{ para todo } \alpha \in \mathbb{R} \setminus \{1\}}$$

**(b) (2 puntos) En el caso particular en que $\alpha = 0$ calcula, si es posible, $A^{-1}$ y $A^{2025}$.** Primero, comprobamos si existe la inversa para $\alpha = 0$. Como $0 \neq 1$, el determinante es $|A| = 1 - 0 = 1$, por lo que **sí existe inversa**. La matriz para $\alpha = 0$ es: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos la matriz de adjuntos $Adj(A)$ obteniendo los menores correspondientes: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$; $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$; $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$; $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$; $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1$; $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$; $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \implies (Adj(A))^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Como $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^T$ y $|A|=1$: $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

Para calcular $A^{2025}$, buscamos una regularidad calculando las primeras potencias de $A$: $A^1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ $A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1+1 \\ 0 & 1 & 1+1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ $A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2+1 \\ 0 & 1 & 2+1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ Observamos el patrón: la potencia $n$-ésima parece ser $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & n \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Podríamos probarlo por inducción: si se cumple para $n$, para $n+1$ sería: $A^{n+1} = A^n \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & n \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & n+1 \\ 0 & 1 & n+1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ Por tanto, para $n = 2025$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{2025} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2025 \\ 0 & 1 & 2025 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$