Probabilidad y Estadística 2025 Pais Vasco
Probabilidad y estimación del cáncer en España 2024
Según estimación de cifras de cáncer en 2024, el número de cánceres diagnosticados en España durante el año 2024 alcanzará los 286.664 casos, lo que supone un ligero incremento del 2,65 % respecto a 2023 con 279.260 casos, según el informe “Las cifras del cáncer en España 2024”, elaborado por la Sociedad Española de Oncología Médica (SEOM) y Red Española de Registros de Cáncer (REDECAN).
La estimación por edad y sexo es la siguiente: 5,56 % menores de 45 años, de los cuales el 62,86 % son mujeres; 59,77 % mayores de 65 años, de los cuales el 39,11 % son mujeres; del resto, el 42,25 % son mujeres.
(a) (0,75 puntos) Seleccionada al azar una persona que ha tenido cáncer en 2024, calcula la probabilidad de que sea mujer.
(b) (0,75 puntos) Calcula el número probable de mujeres que han tenido cáncer en 2024 que son mayores de 65 años.
(c) (0,75 puntos) Seleccionada al azar una mujer que ha tenido cáncer en 2024, calcula la probabilidad de que tenga 65 años o menos.
(d) (0,25 puntos) Seleccionada al azar una persona que ha tenido cáncer en 2024, ¿qué es más probable, que sea mujer o que no lo sea? Razona tu respuesta teniendo en cuenta únicamente los resultados anteriores.
Paso 1
Definición de sucesos y árbol de probabilidad
**(a) (0,75 puntos) Seleccionada al azar una persona que ha tenido cáncer en 2024, calcula la probabilidad de que sea mujer.**
Primero, definimos los sucesos según los grupos de edad y el sexo:
- $A_1$: Persona menor de 45 años.
- $A_2$: Persona mayor de 65 años.
- $A_3$: Persona entre 45 y 65 años (el resto).
- $W$: La persona es mujer.
- $H$: La persona es hombre (no mujer).
Calculamos la probabilidad del grupo "resto" ($A_3$):
$$P(A_3) = 1 - P(A_1) - P(A_2) = 1 - 0,0556 - 0,5977 = 0,3467$$
Organizamos la información en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total de ser mujer
Para hallar $P(W)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total** sumando las probabilidades de ser mujer en cada grupo de edad:
$$P(W) = P(A_1) \cdot P(W|A_1) + P(A_3) \cdot P(W|A_3) + P(A_2) \cdot P(W|A_2)$$
Sustituimos los valores:
$$P(W) = (0,0556 \cdot 0,6286) + (0,3467 \cdot 0,4225) + (0,5977 \cdot 0,3911)$$
$$P(W) = 0,03495 + 0,14648 + 0,23376 = 0,41519$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser $1$ (o $100\%$).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(W) \approx 0,4152}$$
Paso 3
Cálculo del número probable de mujeres mayores de 65 años
**(b) (0,75 puntos) Calcula el número probable de mujeres que han tenido cáncer en 2024 que son mayores de 65 años.**
Primero, calculamos la probabilidad de que una persona elegida al azar sea mujer **y** mayor de 65 años ($A_2 \cap W$):
$$P(A_2 \cap W) = P(A_2) \cdot P(W|A_2)$$
$$P(A_2 \cap W) = 0,5977 \cdot 0,3911 = 0,23376$$
Dado que el número total de casos estimados es $N = 286.664$, el número probable (valor esperado) de mujeres en ese rango es:
$$\text{Número} = N \cdot P(A_2 \cap W)$$
$$\text{Número} = 286.664 \cdot 0,23376 = 67.010,74$$
Redondeando a la unidad más cercana, ya que hablamos de personas:
✅ **Resultado:**
$$\boxed{67.011 \text{ mujeres}}$$
Paso 4
Probabilidad condicionada: edad de una mujer
**(c) (0,75 puntos) Seleccionada al azar una mujer que ha tenido cáncer en 2024, calcula la probabilidad de que tenga 65 años o menos.**
Tener 65 años o menos engloba a los grupos $A_1$ y $A_3$. Buscamos $P(A_1 \cup A_3 | W)$. Por la definición de probabilidad condicionada:
$$P(A_1 \cup A_3 | W) = \frac{P((A_1 \cup A_3) \cap W)}{P(W)} = \frac{P(A_1 \cap W) + P(A_3 \cap W)}{P(W)}$$
Utilizamos los valores calculados en el apartado (a):
- $P(A_1 \cap W) = 0,0556 \cdot 0,6286 = 0,03495$
- $P(A_3 \cap W) = 0,3467 \cdot 0,4225 = 0,14648$
- $P(W) = 0,41519$
$$P(A_1 \cup A_3 | W) = \frac{0,03495 + 0,14648}{0,41519} = \frac{0,18143}{0,41519} \approx 0,4370$$
💡 **Tip:** También podrías calcularlo como $1 - P(A_2 | W)$, ya que ser mayor de 65 es el suceso contrario a tener 65 años o menos dentro del grupo de mujeres.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\le 65 | W) \approx 0,4370}$$
Paso 5
Comparación de probabilidades
**(d) (0,25 puntos) Seleccionada al azar una persona que ha tenido cáncer en 2024, ¿qué es más probable, que sea mujer o que no lo sea? Razona tu respuesta teniendo en cuenta únicamente los resultados anteriores.**
En el apartado (a) hemos calculado que la probabilidad de que una persona con cáncer sea mujer es:
$$P(W) = 0,4152$$
La probabilidad de que no sea mujer (es decir, que sea hombre) es el suceso complementario:
$$P(H) = 1 - P(W) = 1 - 0,4152 = 0,5848$$
Como $P(H) \gt P(W)$ ($0,5848 \gt 0,4152$):
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Es más probable que NO sea mujer.}}$$