Área de un recinto delimitado por curvas

**(a) (1,25 puntos) Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por esas tres curvas.** Para dibujar el recinto, primero identificamos las tres funciones y buscamos sus puntos de corte en el primer cuadrante: 1. $f(x) = (x - 1)^2$: Parábola con vértice en $(1, 0)$. 2. $g(x) = (x + 1)^2$: Parábola con vértice en $(-1, 0)$. 3. $h(x) = 7 - 3x$: Recta con pendiente negativa que corta a los ejes en $(0, 7)$ y $(7/3, 0)$. Buscamos los puntos de intersección: - **Corte entre $f(x)$ y $g(x)$**: $$(x - 1)^2 = (x + 1)^2 \implies x^2 - 2x + 1 = x^2 + 2x + 1 \implies -2x = 2x \implies x = 0$$ Sustituyendo en $g(0) = 1$. Punto: **$(0, 1)$**. - **Corte entre $g(x)$ e $h(x)$**: $$(x + 1)^2 = 7 - 3x \implies x^2 + 2x + 1 = 7 - 3x \implies x^2 + 5x - 6 = 0$$ Resolviendo la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{-5 \pm 7}{2} \implies x_1 = 1, x_2 = -6$$ Como estamos en el primer cuadrante, tomamos $x = 1$. Sustituyendo, $h(1) = 4$. Punto: **$(1, 4)$**. - **Corte entre $f(x)$ e $h(x)$**: $$(x - 1)^2 = 7 - 3x \implies x^2 - 2x + 1 = 7 - 3x \implies x^2 + x - 6 = 0$$ $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \implies x_1 = 2, x_2 = -3$$ Tomamos $x = 2$. Sustituyendo, $h(2) = 1$. Punto: **$(2, 1)$**. 💡 **Tip:** Calcular los puntos de corte es fundamental para establecer los límites de integración en el apartado posterior.

Con los puntos de corte **$(0, 1)$**, **$(1, 4)$** y **$(2, 1)$**, y conociendo la forma de las parábolas y la recta, representamos el recinto. El recinto está limitado por arriba por $g(x)$ (de $x=0$ a $x=1$) y por $h(x)$ (de $x=1$ a $x=2$), y por abajo por la curva $f(x)$. ✅ **Resultado (Representación):**

**(b) (1,25 puntos) Calcula el área del recinto del apartado anterior.** El área total del recinto se divide en dos partes según el cambio en la función superior en $x=1$: - En el intervalo $[0, 1]$, la función superior es $g(x) = (x+1)^2$ y la inferior es $f(x) = (x-1)^2$. - En el intervalo $[1, 2]$, la función superior es $h(x) = 7-3x$ y la inferior es $f(x) = (x-1)^2$. Por tanto, el área total $A$ es: $$A = \int_{0}^{1} \left[ (x+1)^2 - (x-1)^2 \right] dx + \int_{1}^{2} \left[ (7-3x) - (x-1)^2 \right] dx$$ Simplificamos los integrandos: 1. $(x+1)^2 - (x-1)^2 = (x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1) = 4x$. 2. $(7-3x) - (x-1)^2 = 7 - 3x - (x^2 - 2x + 1) = -x^2 - x + 6$. 💡 **Tip:** Recuerda que el área entre dos curvas $y=u(x)$ e $y=v(x)$ en $[a, b]$ es $\int_a^b (u(x) - v(x)) dx$, donde $u(x)$ es la función que queda por encima.

Calculamos la primera parte del área aplicando la regla de Barrow: $$A_1 = \int_{0}^{1} 4x \, dx = \left[ 2x^2 \right]_{0}^{1}$$ $$A_1 = 2(1)^2 - 2(0)^2 = 2 \text{ unidades}^2.$$

Calculamos la segunda parte del área: $$A_2 = \int_{1}^{2} (-x^2 - x + 6) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 6x \right]_{1}^{2}$$ Aplicamos Barrow: $$A_2 = \left( -\frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} + 6(2) \right) - \left( -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 6(1) \right)$$ $$A_2 = \left( -\frac{8}{3} - 2 + 12 \right) - \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 6 \right)$$ $$A_2 = \left( 10 - \frac{8}{3} \right) - \left( 6 - \frac{5}{6} \right) = \frac{22}{3} - \frac{31}{6}$$ Para restar, igualamos denominadores: $$A_2 = \frac{44}{6} - \frac{31}{6} = \frac{13}{6} \text{ unidades}^2.$$

Sumamos ambas áreas para obtener el área total del recinto: $$A = A_1 + A_2 = 2 + \frac{13}{6}$$ $$A = \frac{12}{6} + \frac{13}{6} = \frac{25}{6}$$ ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{A = \frac{25}{6} \approx 4,17 \text{ u}^2}$$