Integración por partes e integración racional

**(a) (1,25 puntos) $\int 2x \cos(2x + 5) dx$.** Esta integral presenta el producto de una función polinómica ($2x$) por una función trigonométrica ($\cos(2x+5)$). El método más adecuado para resolverla es la **integración por partes**. La fórmula de integración por partes es: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ Elegimos los términos siguiendo la regla **ALPES**: - $u = 2x \implies du = 2 \, dx$ - $dv = \cos(2x + 5) \, dx \implies v = \int \cos(2x + 5) \, dx$ Para calcular $v$, recordamos que la integral del coseno es el seno, ajustando la constante de la función lineal interna: $$v = \frac{1}{2}\sin(2x + 5)$$ 💡 **Tip:** Al elegir $u$, priorizamos las funciones cuyas derivadas se simplifiquen (como los polinomios) para que la segunda integral sea más sencilla.

Sustituimos los elementos en la fórmula de integración por partes: $$\int 2x \cos(2x + 5) \, dx = (2x) \left( \frac{1}{2}\sin(2x + 5) \right) - \int \frac{1}{2}\sin(2x + 5) \cdot 2 \, dx$$ Simplificamos los coeficientes: $$= x \sin(2x + 5) - \int \sin(2x + 5) \, dx$$ Ahora resolvemos la integral inmediata del seno, recordando que $\int \sin(ax+b) dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b)$: $$= x \sin(2x + 5) - \left( -\frac{1}{2}\cos(2x + 5) \right) + C$$ $$= x \sin(2x + 5) + \frac{1}{2}\cos(2x + 5) + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x \sin(2x + 5) + \frac{1}{2}\cos(2x + 5) + C}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = 2x \\cos(2x+5)", "color": "#2563eb" }, { "id": "F", "latex": "F(x) = x\\sin(2x+5) + 0.5\\cos(2x+5)", "color": "#16a34a", "lineStyle": "DASHED" } ], "bounds": { "left": -10, "right": 10, "bottom": -10, "top": 10 } } }

**(b) (1,25 puntos) $\int \frac{x + 495}{x^2 - 2025} dx$.** Se trata de una integral de una función racional donde el grado del numerador es menor que el del denominador. Primero, factorizamos el denominador: $$x^2 - 2025 = 0 \implies x^2 = 2025 \implies x = \pm \sqrt{2025} = \pm 45$$ Por tanto, el denominador se descompone como $(x - 45)(x + 45)$. Planteamos la descomposición en fracciones simples: $$\frac{x + 495}{(x - 45)(x + 45)} = \frac{A}{x - 45} + \frac{B}{x + 45}$$ Multiplicamos toda la expresión por el denominador común: $$x + 495 = A(x + 45) + B(x - 45)$$ 💡 **Tip:** Recuerda la identidad notable: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Aquí $2025 = 45^2$.

Para hallar $A$ y $B$, damos valores estratégicos a $x$ (las raíces del denominador): **Si $x = 45$:** $$45 + 495 = A(45 + 45) + B(45 - 45)$$ $$540 = 90A \implies A = \frac{540}{90} = 6$$ **Si $x = -45$:** $$-45 + 495 = A(-45 + 45) + B(-45 - 45)$$ $$450 = -90B \implies B = \frac{450}{-90} = -5$$ Por tanto, la fracción original queda: $$\frac{x + 495}{x^2 - 2025} = \frac{6}{x - 45} - \frac{5}{x + 45}$$

Sustituimos la descomposición en la integral: $$\int \frac{x + 495}{x^2 - 2025} \, dx = \int \left( \frac{6}{x - 45} - \frac{5}{x + 45} \right) \, dx$$ Como la integral de una suma es la suma de las integrales, y sacando las constantes fuera: $$= 6 \int \frac{1}{x - 45} \, dx - 5 \int \frac{1}{x + 45} \, dx$$ Ambas integrales son de tipo logarítmico inmediato: $$= 6 \ln|x - 45| - 5 \ln|x + 45| + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{x+a} dx = \ln|x+a| + C$. Es fundamental poner el valor absoluto en el argumento del logaritmo. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{6 \ln|x - 45| - 5 \ln|x + 45| + C}$$