Optimización del coste de marcos rectangulares

**(a) (2 puntos) cuáles deben ser las medidas de los cuadros para pagar el mínimo posible;** Primero definimos las variables que representan las dimensiones de un cuadro rectangular: - Sea $x$ la longitud de los lados horizontales (en metros). - Sea $y$ la longitud de los lados verticales (en metros). Sabemos que la superficie de cada cuadro es de $0,3\text{ m}^2$, lo que nos da la **función de ligadura**: $$x \cdot y = 0,3 \implies y = \frac{0,3}{x}$$ Queremos minimizar el coste total. El coste de un solo marco viene dado por la suma del coste de sus cuatro lados (dos horizontales y dos verticales): $$C_f = 2 \cdot (12 \cdot x) + 2 \cdot (10 \cdot y) = 24x + 20y$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre debemos expresar la función a optimizar en términos de una sola variable usando la relación entre ellas.

Sustituimos $y = \dfrac{0,3}{x}$ en la expresión del coste de un marco para obtener la función $C(x)$: $$C(x) = 24x + 20\left(\frac{0,3}{x}\right) = 24x + \frac{6}{x}$$ Como estamos minimizando el coste total de 274 cuadros, la función de coste total sería $C_T(x) = 274 \cdot C(x)$. Sin embargo, el valor de $x$ que minimiza el coste de un marco es el mismo que minimiza el coste total, por lo que trabajaremos con $C(x)$ para simplificar los cálculos. El dominio de nuestra función, dadas las condiciones físicas, es $x \in (0, +\infty)$. $$\boxed{C(x) = 24x + \frac{6}{x}}$$

Para hallar el mínimo, calculamos la primera derivada de $C(x)$ e igualamos a cero: $$C'(x) = 24 - \frac{6}{x^2}$$ Igualamos a cero: $$24 - \frac{6}{x^2} = 0 \implies 24 = \frac{6}{x^2} \implies x^2 = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 0,25$$ Resolviendo para $x$ (tomamos solo la solución positiva por ser una longitud): $$x = \sqrt{0,25} = 0,5\text{ m}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $1/x$ es $-1/x^2$. Esto es muy común en problemas de optimización con áreas fijas.

Para confirmar que $x = 0,5$ es un mínimo, estudiamos el signo de la primera derivada o usamos la segunda derivada. **Método 1: Tabla de signos de $C'(x)$** $$\begin{array}{c|ccc} x & (0; 0,5) & 0,5 & (0,5; +\infty) \\ \hline C'(x) & - & 0 & + \\ C(x) & \searrow & \min & \nearrow \end{array}$$ **Método 2: Segunda derivada** $$C''(x) = \frac{12}{x^3}$$ Evaluamos en $x = 0,5$: $$C''(0,5) = \frac{12}{(0,5)^3} = \frac{12}{0,125} = 96 > 0$$ Al ser la segunda derivada positiva, confirmamos que existe un **mínimo relativo** en $x = 0,5$.

Calculamos la otra dimensión $y$ sustituyendo en la ligadura: $$y = \frac{0,3}{0,5} = 0,6\text{ m}$$ Por tanto, las dimensiones que minimizan el coste son: - Parte horizontal: **$0,5\text{ m}$** - Parte vertical: **$0,6\text{ m}$** ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{\text{Base (horizontal) } = 0,5\text{ m, Altura (vertical) } = 0,6\text{ m}}$$

**(b) (0,5 puntos) a cuánto ascenderá la factura.** Primero calculamos el coste de un solo marco utilizando las dimensiones óptimas encontradas: $$C(0,5) = 24(0,5) + 20(0,6) = 12 + 12 = 24€$$ Como el pedido total es de 274 cuadros, la factura total será: $$\text{Factura} = 274 \cdot 24 = 6576€$$ 💡 **Tip:** No olvides multiplicar por el número total de unidades solicitadas al final del problema. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{6576€}$$