Cálculo de parámetros y estudio de la monotonía

**(a) (1 punto) Calcula los valores de los parámetros $A$ y $B$ para que las rectas tangentes a la gráfica de $f$ en los puntos de abscisa $x = 0$ y $x = 1$ sean horizontales.** Para que la recta tangente a la gráfica de una función en un punto sea horizontal, la pendiente de dicha recta debe ser cero. Como la pendiente coincide con el valor de la derivada en ese punto, debemos imponer que $f'(0) = 0$ y $f'(1) = 0$. Primero, calculamos la derivada de la función $f(x) = x^4 + Ax^3 + x^2 + Bx$: $$f'(x) = 4x^3 + 3Ax^2 + 2x + B$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente a $y=f(x)$ en $x=a$ es $m = f'(a)$. Una recta es horizontal si su pendiente es $m = 0$.

Aplicamos las condiciones dadas al valor de la derivada: 1. En $x = 0$: $$f'(0) = 4(0)^3 + 3A(0)^2 + 2(0) + B = 0 \implies B = 0$$ 2. En $x = 1$: $$f'(1) = 4(1)^3 + 3A(1)^2 + 2(1) + B = 0$$ Sustituyendo el valor $B = 0$: $$4 + 3A + 2 + 0 = 0 \implies 3A + 6 = 0 \implies 3A = -6 \implies A = -2$$ ✅ **Resultado (valores de los parámetros):** $$\boxed{A = -2, \quad B = 0}$$

**(b) (1,5 puntos) Con los valores de $A$ y $B$ que has obtenido en el apartado anterior, estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$.** Sustituimos $A = -2$ y $B = 0$ en la función y su derivada: $$f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2$$ $$f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x$$ Para estudiar la monotonía, buscamos los puntos críticos igualando la primera derivada a cero: $$4x^3 - 6x^2 + 2x = 0$$ Factorizamos $2x$: $$2x(2x^2 - 3x + 1) = 0$$ Esto nos da la primera solución: **$x_1 = 0$**. Para el paréntesis, resolvemos la ecuación de segundo grado $2x^2 - 3x + 1 = 0$: $$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4}$$ Obtenemos: **$x_2 = 1$** y **$x_3 = 0.5$**. 💡 **Tip:** Los puntos críticos son aquellos donde la derivada es cero o no existe. En este caso, al ser un polinomio, solo consideramos $f'(x)=0$.

Dividimos la recta real en intervalos definidos por los puntos críticos $\{0, 0.5, 1\}$ y evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 0.5) & 0.5 & (0.5, 1) & 1 & (1, +\infty)\\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \text{Monotonía} & \searrow & \min & \nearrow & \max & \searrow & \min & \nearrow \end{array}$$ Evaluaciones de signo: - Para $x = -1$: $f'(-1) = 4(-1)^3 - 6(-1)^2 + 2(-1) = -4 - 6 - 2 = -12 \lt 0$. - Para $x = 0.25$: $f'(0.25) = 4(0.25)^3 - 6(0.25)^2 + 2(0.25) = 0.0625 - 0.375 + 0.5 = 0.1875 \gt 0$. - Para $x = 0.75$: $f'(0.75) = 4(0.75)^3 - 6(0.75)^2 + 2(0.75) = 1.6875 - 3.375 + 1.5 = -0.1875 \lt 0$. - Para $x = 2$: $f'(2) = 4(8) - 6(4) + 2(2) = 32 - 24 + 4 = 12 \gt 0$. 💡 **Tip:** Si $f'(x) \gt 0$ en un intervalo, la función es creciente. Si $f'(x) \lt 0$, es decreciente.

A partir de la tabla anterior, definimos los intervalos finales. ✅ **Resultado (monotonía):** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Crecimiento: } (0, 0.5) \cup (1, +\infty) \\ &\text{Decrecimiento: } (-\infty, 0) \cup (0.5, 1) \end{aligned}}$$ Como información adicional, observamos que hay mínimos relativos en $x=0$ y $x=1$, y un máximo relativo en $x=0.5$.