Posición relativa y distancia entre rectas en el espacio

**(a) (1,5 puntos) Calcula la posición relativa de la recta $r$ con respecto de la recta $s$.** Primero, determinamos un punto y un vector director para cada recta. Para la recta $r$: - Punto: $A(-4, 4, 1)$ - Vector director $\vec{v}_r = \vec{AB} = B - A = (1 - (-4), 0 - 4, -1 - 1) = (5, -4, -2)$ Para la recta $s$: - Punto: $C(-2, 7, -1)$ - Vector director $\vec{v}_s = \vec{CD} = D - C = (2 - (-2), 3 - 7, -1 - (-1)) = (4, -4, 0)$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta que pasa por dos puntos $P$ y $Q$ se obtiene restando sus coordenadas: $\vec{v} = Q - P$.

Comprobamos si los vectores directores $\vec{v}_r = (5, -4, -2)$ y $\vec{v}_s = (4, -4, 0)$ son proporcionales: $$\frac{5}{4} \neq \frac{-4}{-4} = 1 \neq \frac{-2}{0}$$ Como las componentes no son proporcionales, los vectores directores son linealmente independientes. Esto significa que las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. Por tanto, las rectas se cortan en un punto o se cruzan en el espacio.

Para distinguir si se cortan o se cruzan, analizamos el vector que une un punto de cada recta: $\vec{AC} = C - A = (-2 - (-4), 7 - 4, -1 - 1) = (2, 3, -2)$. Calculamos el determinante de la matriz formada por $\vec{v}_r$, $\vec{v}_s$ y $\vec{AC}$: $$\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{AC}) = \begin{vmatrix} 5 & -4 & -2 \\ 4 & -4 & 0 \\ 2 & 3 & -2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por la regla de Sarrus o desarrollando por una fila/columna. Desarrollamos por la segunda fila (que tiene un cero): $$\det = -4 \cdot \begin{vmatrix} -4 & -2 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} + (-4) \cdot \begin{vmatrix} 5 & -2 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} - 0$$ $$\det = -4 \cdot (8 - (-6)) - 4 \cdot (-10 - (-4))$$ $$\det = -4 \cdot (14) - 4 \cdot (-6) = -56 + 24 = -32$$ Como el determinante es distinto de cero ($ \det \neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes, lo que implica que las rectas están en planos distintos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$

**(b) (1 punto) En caso de ser paralelas o cruzarse, calcula la distancia entre ambas. Si se cortan, calcula el punto de intersección.** Al haberse determinado que las rectas se cruzan, utilizamos la fórmula de la distancia basada en el volumen del paralelepípedo: $$d(r, s) = \frac{|[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{AC}]|}{|\vec{v}_r \times \vec{v}_s|}$$ Ya conocemos el numerador (valor absoluto del determinante calculado anteriormente): $$|[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{AC}]| = |-32| = 32$$ Ahora calculamos el producto vectorial $\vec{v}_r \times \vec{v}_s$: $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 5 & -4 & -2 \\ 4 & -4 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 - 8) - \vec{j}(0 - (-8)) + \vec{k}(-20 - (-16))$$ $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = -8\vec{i} - 8\vec{j} - 4\vec{k} = (-8, -8, -4)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial produce un vector perpendicular a ambos vectores directores, cuya magnitud es el área de la base del paralelepípedo.

Calculamos el módulo del vector resultante del producto vectorial: $$|\vec{v}_r \times \vec{v}_s| = \sqrt{(-8)^2 + (-8)^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 64 + 16} = \sqrt{144} = 12$$ Sustituimos en la fórmula de la distancia: $$d(r, s) = \frac{32}{12}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 4: $$d(r, s) = \frac{8}{3} \approx 2.67 \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, s) = \frac{8}{3} \text{ unidades}}$$