Plano que contiene a una recta e interseca a otra en un plano

**(3A) (2,5 puntos) Se consideran las siguientes rectas:** $$r_1 \equiv \begin{cases} x + y - 2z = 0 \\ 2x - 3y + z = 1 \end{cases} \quad r_2 \equiv \begin{cases} x = 3t \\ y = 1 - 2t \\ z = 2 + t \end{cases}$$ **Calcula la ecuación del plano que contiene a $r_1$ y pasa por el punto de intersección del plano $\pi \equiv x - 3y - 2z + 7 = 0$ y la recta $r_2$.** En primer lugar, calculamos el punto de intersección $P$ entre el plano $\pi$ y la recta $r_2$. Para ello, sustituimos las ecuaciones paramétricas de $r_2$ en la ecuación implícita de $\pi$: $$(3t) - 3(1 - 2t) - 2(2 + t) + 7 = 0$$ Desarrollamos la ecuación para hallar el valor del parámetro $t$: $$3t - 3 + 6t - 4 - 2t + 7 = 0$$ $$7t = 0 \implies t = 0$$ Sustituimos $t = 0$ en las ecuaciones de $r_2$ para obtener las coordenadas del punto $P$: $$P = (3 \cdot 0, 1 - 2 \cdot 0, 2 + 0) = (0, 1, 2)$$ 💡 **Tip:** Para hallar la intersección de recta y plano, el método más rápido es sustituir las paramétricas de la recta en el plano. $$\boxed{P(0, 1, 2)}$$

Queremos hallar un plano $\pi'$ que contenga a la recta $r_1$. Todos los planos que contienen a una recta forman un **haz de planos**. La ecuación del haz de planos que contiene a $r_1$ se obtiene mediante la combinación lineal de las dos ecuaciones que definen la recta: $$\alpha(x + y - 2z) + \beta(2x - 3y + z - 1) = 0$$ Como buscamos un plano concreto (distinto del segundo plano que define la recta), podemos simplificar el haz usando un solo parámetro $k$ (donde $k = \beta / \alpha$ o viceversa), aunque es más seguro trabajar con $\alpha$ y $\beta$ para no perder ninguna solución. Usaremos: $$(x + y - 2z) + k(2x - 3y + z - 1) = 0$$ 💡 **Tip:** El haz de planos es una herramienta muy útil en selectividad para evitar tener que calcular vectores directores y puntos adicionales de la recta.

Para que el plano $\pi'$ pase por el punto $P(0, 1, 2)$, este debe satisfacer la ecuación del haz. Sustituimos las coordenadas de $P$ en la ecuación: $$(0 + 1 - 2 \cdot 2) + k(2 \cdot 0 - 3 \cdot 1 + 2 - 1) = 0$$ $$(1 - 4) + k(-3 + 2 - 1) = 0$$ $$-3 + k(-2) = 0$$ $$-2k = 3 \implies k = -\frac{3}{2}$$ Ahora sustituimos este valor de $k$ en la ecuación del haz para obtener la ecuación de nuestro plano: $$(x + y - 2z) - \frac{3}{2}(2x - 3y + z - 1) = 0$$ Multiplicamos toda la ecuación por $2$ para eliminar el denominador: $$2(x + y - 2z) - 3(2x - 3y + z - 1) = 0$$ $$2x + 2y - 4z - 6x + 9y - 3z + 3 = 0$$ Agrupamos términos semejantes: $$-4x + 11y - 7z + 3 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para que el primer término sea positivo (opcional): $$\boxed{4x - 11y + 7z - 3 = 0}$$

A continuación se muestra un esquema de la configuración geométrica descrita: la recta $r_1$ contenida en el plano buscado, y el punto $P$ (intersección de $r_2$ y $\pi$) también contenido en él.