Invertibilidad de matrices y ecuaciones matriciales

**(a) (0,75 puntos) Decide si existe la inversa de $A$ en función de los valores de los parámetros $a$ y $b$.** Para que una matriz cuadrada tenga inversa, es necesario y suficiente que su determinante sea distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$ aplicando la definición para una matriz $2 \times 2$: $$|A| = \begin{vmatrix} a + b & 2a \\ 2b & a + b \end{vmatrix} = (a + b)^2 - (2a)(2b)$$ Desarrollamos el binomio al cuadrado y simplificamos: $$|A| = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2$$ Observamos que esta expresión es una identidad notable (el cuadrado de una diferencia): $$|A| = (a - b)^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para una matriz $2 \times 2$, $|A| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$.

La matriz $A$ tiene inversa si $|A| \neq 0$. Según el resultado anterior: $$(a - b)^2 \neq 0 \iff a - b \neq 0 \iff a \neq b$$ Por tanto: - Si **$a \neq b$**, el determinante es no nulo y **existe la matriz inversa $A^{-1}$**. - Si **$a = b$**, el determinante es cero y **no existe la matriz inversa $A^{-1}$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existe } A^{-1} \iff a \neq b}$$

**(b) (1,75 puntos) En el caso particular en que $a = 1$ y $b = 2$ resuelve, si es posible, la ecuación matricial $AX - A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.** Primero, sustituimos $a=1$ y $b=2$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 + 2 & 2(1) \\ 2(2) & 1 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$$ Comprobamos si existe inversa para estos valores. Como $a=1$ y $b=2$, tenemos $a \neq b$, por lo que la matriz es invertible. Su determinante es: $$|A| = (1 - 2)^2 = (-1)^2 = 1$$ La ecuación matricial dada es $AX - A^3 = I$, donde $I$ es la matriz identidad. 💡 **Tip:** Antes de operar con matrices grandes, intenta despejar la incógnita $X$ algebraicamente.

Para resolver $AX - A^3 = I$, despejamos $X$ siguiendo las reglas del álgebra matricial: 1. Sumamos $A^3$ en ambos lados: $$AX = I + A^3$$ 2. Como existe $A^{-1}$, multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$: $$A^{-1}(AX) = A^{-1}(I + A^3)$$ $$IX = A^{-1}I + A^{-1}A^3$$ Simplificamos usando las propiedades $A^{-1}I = A^{-1}$ y $A^{-1}A^3 = A^2$: $$X = A^{-1} + A^2$$ Esta forma es mucho más sencilla de calcular que hallar $A^3$ directamente.

Calculamos $A^{-1}$ mediante la matriz adjunta: $$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \implies A^t = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \implies \text{Adj}(A^t) = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$$ $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A^t) = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$$ Calculamos $A^2$: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot3 + 2\cdot4 & 3\cdot2 + 2\cdot3 \\ 4\cdot3 + 3\cdot4 & 4\cdot2 + 3\cdot3 \end{pmatrix}$$ $$A^2 = \begin{pmatrix} 9 + 8 & 6 + 6 \\ 12 + 12 & 8 + 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 & 12 \\ 24 & 17 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para matrices $2 \times 2$, la inversa se halla rápido intercambiando los elementos de la diagonal principal y cambiando el signo de la secundaria, dividiendo por el determinante.

Finalmente, sumamos los resultados obtenidos para hallar $X$: $$X = A^{-1} + A^2 = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 17 & 12 \\ 24 & 17 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 3 + 17 & -2 + 12 \\ -4 + 24 & 3 + 17 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 & 10 \\ 20 & 20 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 20 & 10 \\ 20 & 20 \end{pmatrix}}$$