Discusión y resolución de un sistema lineal con parámetros

**(a) (1 punto) Encuentra los valores del parámetro $\alpha$ para los que el sistema tiene una única solución.** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} \alpha & -2 & 1 \\ 1 & -2 & \alpha \\ -2 & 1 & \alpha \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} \alpha & -2 & 1 & \alpha \\ 1 & -2 & \alpha & \alpha \\ -2 & 1 & \alpha & -2 \end{array}\right)$$ Para estudiar el rango de $A$, calculamos su determinante aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} \alpha & -2 & 1 \\ 1 & -2 & \alpha \\ -2 & 1 & \alpha \end{vmatrix} = [\alpha(-2)\alpha + (-2)\alpha(-2) + 1 \cdot 1 \cdot 1] - [1(-2)(-2) + \alpha \cdot \alpha \cdot 1 + (-2) \cdot 1 \cdot \alpha]$$ $$|A| = [-2\alpha^2 + 4\alpha + 1] - [4 + \alpha^2 - 2\alpha]$$ $$|A| = -2\alpha^2 + 4\alpha + 1 - 4 - \alpha^2 + 2\alpha = -3\alpha^2 + 6\alpha - 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un sistema tiene solución única (es Compatible Determinado) si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $\alpha$: $$-3\alpha^2 + 6\alpha - 3 = 0 \implies -3(\alpha^2 - 2\alpha + 1) = 0$$ $$-3(\alpha - 1)^2 = 0 \implies \alpha = 1$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**: - Si $\alpha \neq 1$, entonces $|A| \neq 0$, por lo que $\text{rango}(A) = 3$. Como el número de incógnitas también es 3, el sistema es **Compatible Determinado** (tiene una solución única). ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{1\}}$$

**(b) (0,75 puntos) ¿Hay algún valor del parámetro $\alpha$ para el que el sistema no tiene solución? Razona tu respuesta.** Ya hemos visto que si $\alpha \neq 1$, el sistema siempre tiene solución única. Analicemos el caso **$\alpha = 1$**: La matriz ampliada $A^*$ para $\alpha = 1$ es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 & -2 \end{array}\right)$$ Observamos que las filas 1 y 2 son idénticas ($F_1 = F_2$). Esto implica que una de las ecuaciones es redundante. Calculamos el rango de $A$ buscando un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2 - 1 = -3 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Como $F_1 = F_2$ en la matriz ampliada $A^*$, cualquier menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes también será cero. Por tanto, $\text{rango}(A^*) = 2$. Al ser $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 < 3$ (nº incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones). Conclusión: No existe ningún valor de $\alpha$ para el cual el sistema sea incompatible. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{\text{No hay ningún valor de } \alpha \text{ para el que el sistema no tenga solución.}}$$

**(c) (0,75 puntos) ¿Hay algún valor del parámetro $\alpha$ para el que el sistema tiene más de una solución? Si la respuesta es afirmativa, calcula esos valores de $\alpha$ y, para cada uno de ellos, encuentra dos soluciones distintas del sistema.** Como razonamos en el paso anterior, para **$\alpha = 1$** el sistema tiene infinitas soluciones (más de una). Resolvemos el sistema eliminando la ecuación repetida: $$\begin{cases} x - 2y + z = 1 \\ -2x + y + z = -2 \end{cases}$$ Restamos las ecuaciones para eliminar $z$: $$(x - (-2x)) + (-2y - y) + (z - z) = 1 - (-2) \implies 3x - 3y = 3 \implies x - y = 1 \implies x = 1 + y$$ Tomamos $y = \lambda$ como parámetro libre: $$x = 1 + \lambda$$ Sustituimos en la primera ecuación para hallar $z$: $$(1 + \lambda) - 2\lambda + z = 1 \implies 1 - \lambda + z = 1 \implies z = \lambda$$ La solución general es: $(x, y, z) = (1 + \lambda, \lambda, \lambda)$. Buscamos dos soluciones particulares asignando valores a $\lambda$: 1. Si **$\lambda = 0$**: $x = 1, y = 0, z = 0 \implies \mathbf{S_1(1, 0, 0)}$ 2. Si **$\lambda = 1$**: $x = 2, y = 1, z = 1 \implies \mathbf{S_2(2, 1, 1)}$ ✅ **Resultado (c):** $$\boxed{\alpha = 1; \text{ Dos soluciones: } (1, 0, 0) \text{ y } (2, 1, 1)}$$