Distribución normal: peso de recién nacidos

**(a) (1 punto) Elegido al azar un recién nacido en el Hospital de Cruces en 2024, calcula la probabilidad de que su peso haya sido superior a 3kg.** En primer lugar, definimos la variable aleatoria $X$ que representa el peso en gramos de un recién nacido. El enunciado nos indica que $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(3372, 405)$$ Donde: - Media: $\mu = 3372\text{ g}$ - Desviación típica: $\sigma = 405\text{ g}$ - Tamaño de la población: $N = 9476$ recién nacidos. Para trabajar con la distribución normal, debemos expresar los pesos en las mismas unidades. Convertimos el valor del apartado a): $$3\text{ kg} = 3000\text{ g}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para poder utilizar las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$, siempre debemos tipificar la variable utilizando la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$.

Queremos calcular $P(X \gt 3000)$. Tipificamos el valor: $$Z = \frac{3000 - 3372}{405} = \frac{-372}{405} \approx -0,9185$$ Redondeamos a dos decimales para usar las tablas estándar: $Z \approx -0,92$. $$P(X \gt 3000) = P(Z \gt -0,92)$$ Por la simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \gt -0,92) = P(Z \le 0,92)$$ Buscando en la tabla de la normal $N(0, 1)$ el valor correspondiente a $0,9$ en la columna y $0,02$ en la fila, obtenemos $0,8212$. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{P(X \gt 3000) = 0,8212}$$

**(b) (1 punto) Calcula el número probable de recién nacidos en el Hospital de Cruces en 2024 cuyo peso esté en el rango comprendido entre 3kg y 3,5kg.** Primero calculamos la probabilidad de que un recién nacido pese entre $3000\text{ g}$ y $3500\text{ g}$: $$P(3000 \le X \le 3500) = P\left(\frac{3000 - 3372}{405} \le Z \le \frac{3500 - 3372}{405}\right)$$ $$P(-0,92 \le Z \le 0,316) \approx P(-0,92 \le Z \le 0,32)$$ Aplicamos la propiedad del intervalo: $$P(-0,92 \le Z \le 0,32) = P(Z \le 0,32) - P(Z \le -0,92)$$ $$= P(Z \le 0,32) - [1 - P(Z \le 0,92)]$$ Buscamos los valores en la tabla: - $P(Z \le 0,32) = 0,6255$ - $P(Z \le 0,92) = 0,8212$ $$P = 0,6255 - (1 - 0,8212) = 0,6255 - 0,1788 = 0,4467$$ 💡 **Tip:** En una distribución continua, $P(X \le a)$ es igual a $P(X \lt a)$, no importa si el intervalo es abierto o cerrado.

Para hallar el número probable de recién nacidos, multiplicamos la probabilidad obtenida por el total de la población ($N = 9476$): $$\text{Número de recién nacidos} = N \cdot P(3000 \le X \le 3500)$$ $$\text{Número} = 9476 \cdot 0,4467 = 4232,92$$ Redondeando al número entero más próximo: ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{4233 \text{ recién nacidos}}$$

**(c) (0,5 puntos) Utilizando únicamente los resultados de los apartados anteriores, razona si es correcto afirmar que la cantidad de recién nacidos en el Hospital de Cruces en 2024 con un peso en el rango comprendido entre 3,1kg y 3,3kg debería estar entre 4500 y 4700.** Analizamos los intervalos de peso: - Intervalo del apartado (b): $I_1 = [3,0\text{ kg}, 3,5\text{ kg}]$ - Intervalo del apartado (c): $I_2 = [3,1\text{ kg}, 3,3\text{ kg}]$ Observamos que el intervalo $I_2$ está contenido dentro del intervalo $I_1$ ($I_2 \subset I_1$). Por las propiedades de la probabilidad, si un suceso $A$ está contenido en un suceso $B$ ($A \subset B$), entonces $P(A) \le P(B)$. En términos de frecuencias absolutas, el número de individuos en un subintervalo no puede ser nunca mayor que el número de individuos en el intervalo total. En el apartado (b) hemos calculado que el número probable de recién nacidos en $[3,0, 3,5]$ es de aproximadamente **4233**. Si la afirmación del apartado (c) fuera correcta, el número de recién nacidos en un intervalo más pequeño ($[3,1, 3,3]$) sería de al menos **4500**, lo cual es superior a los **4233** disponibles en el intervalo mayor. ✅ **Resultado (c):** $$\boxed{\text{La afirmación es incorrecta. Un subintervalo no puede tener más individuos que el intervalo que lo contiene.}}$$