Estudio de asíntotas y simetría de una función racional

**C2) Se considera la función $f(x) = \frac{3x^3}{x^2 - 4}$. Estudia sus asíntotas y simetrías. Estudia la aproximación de la función a sus asíntotas verticales.** Para estudiar la simetría, evaluamos $f(-x)$ y comparamos con $f(x)$: $$f(-x) = \frac{3(-x)^3}{(-x)^2 - 4} = \frac{-3x^3}{x^2 - 4} = -\left(\frac{3x^3}{x^2 - 4}\right) = -f(x)$$ Al cumplirse que $f(-x) = -f(x)$, la función es **impar**. 💡 **Tip:** Una función es par si $f(x) = f(-x)$ (simetría respecto al eje $Y$) y es impar si $f(-x) = -f(x)$ (simetría respecto al origen $(0,0)$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función tiene simetría impar (respecto al origen)}}$$

Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos donde la función no está definida, es decir, donde el denominador se anula. Resolvemos $x^2 - 4 = 0$: $$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$ El dominio es $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$. Por lo tanto, los candidatos a asíntotas verticales son $x = 2$ y $x = -2$.

Estudiamos los límites laterales en $x = 2$ y $x = -2$ para comprobar si son asíntotas y ver cómo se aproxima la función. **En $x = 2$:** $$\lim_{x \to 2^-} \frac{3x^3}{x^2 - 4} = \frac{24}{0^-} = -\infty$$ $$\lim_{x \to 2^+} \frac{3x^3}{x^2 - 4} = \frac{24}{0^+} = +\infty$$ **En $x = -2$:** Dado que la función es impar, podemos deducir los límites o calcularlos directamente: $$\lim_{x \to -2^-} \frac{3x^3}{x^2 - 4} = \frac{-24}{0^+} = -\infty$$ $$\lim_{x \to -2^+} \frac{3x^3}{x^2 - 4} = \frac{-24}{0^-} = +\infty$$ 💡 **Tip:** Para determinar el signo del infinito, sustituye por un valor muy cercano (ej: $1,99$ para $2^-$). Como $(1,99)^2 - 4$ es negativo, el resultado es $-\infty$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 2 \text{ y } x = -2 \text{ son asíntotas verticales}}$$

Como el grado del numerador ($3$) es una unidad mayor que el del denominador ($2$), no hay asíntota horizontal pero **existe una asíntota oblicua** de la forma $y = mx + n$. Calculamos $m$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3}{x(x^2 - 4)} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3}{x^3 - 4x} = 3$$ Calculamos $n$: $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{3x^3}{x^2 - 4} - 3x \right)$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 - 3x(x^2 - 4)}{x^2 - 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 - 3x^3 + 12x}{x^2 - 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{12x}{x^2 - 4} = 0$$ La asíntota oblicua es $y = 3x$. Debido a la simetría impar, la asíntota es la misma para $x \to +\infty$ y $x \to -\infty$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Asíntota Oblicua: } y = 3x}$$