Continuidad y Teorema de Rolle

**a) Demuestra que $f$ es continua en $[2, 3]$. (0,75 puntos)** La función $f(x)$ es el producto de dos funciones: 1. Una función trigonométrica: $g(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)$. 2. Una función logarítmica compuesta: $h(x) = \ln(x^2 + x - 5)$. Analizamos cada una: - $g(x)$ es una función coseno, cuyo dominio es $\mathbb{R}$. Por tanto, es continua en todo el intervalo $[2, 3]$. - $h(x)$ es continua en su dominio, que son los valores donde el argumento del logaritmo es estrictamente positivo: $x^2 + x - 5 \gt 0$. 💡 **Tip:** El producto de dos funciones continuas en un intervalo cerrado también es una función continua en dicho intervalo.

Para comprobar si $h(x) = \ln(x^2 + x - 5)$ es continua en $[2, 3]$, resolvemos $x^2 + x - 5 = 0$ para encontrar los puntos críticos del dominio: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-5)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$$ Como $\sqrt{21} \approx 4,58$, las raíces son: $$x_1 \approx \frac{-1 + 4,58}{2} \approx 1,79, \quad x_2 \approx \frac{-1 - 4,58}{2} \approx -2,79$$ El logaritmo está definido para $x \in (-\infty, -2,79) \cup (1,79, +\infty)$. Como el intervalo **$[2, 3]$** está completamente contenido en $(1,79, +\infty)$, el argumento $x^2 + x - 5$ siempre es positivo y, por tanto, $h(x)$ es continua en dicho intervalo. Al ser producto de funciones continuas en $[2, 3]$: $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } [2, 3]}$$

**b) Demuestra que existe un punto $c$ en $(2, 3)$ tal que $f'(c) = 0$. Enuncia el resultado teórico utilizado, y justifica su uso. (1,75 puntos)** Para demostrar la existencia de un punto con derivada nula, utilizaremos el **Teorema de Rolle**. **Teorema de Rolle:** Sea $f(x)$ una función que cumple: 1. $f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$. 2. $f(x)$ es derivable en el intervalo abierto $(a, b)$. 3. $f(a) = f(b)$. Entonces, existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que **$f'(c) = 0$**. 💡 **Tip:** El Teorema de Rolle es un caso particular del Teorema del Valor Medio donde la pendiente de la secante es cero.

Comprobamos las tres condiciones para nuestra función en el intervalo $[2, 3]$: 1. **Continuidad:** Ya se ha demostrado en el apartado (a) que $f(x)$ es continua en $[2, 3]$. 2. **Derivabilidad:** $f(x)$ es derivable en $(2, 3)$ porque es producto y composición de funciones derivables (trigonométrica, logarítmica y polinómica) y el argumento del logaritmo no se anula ni es negativo en dicho intervalo. 3. **Igualdad en los extremos ($f(2) = f(3)$):** - Para $x = 2$: $$f(2) = \cos\left(\frac{\pi}{2} \cdot 2\right) \cdot \ln(2^2 + 2 - 5) = \cos(\pi) \cdot \ln(1) = (-1) \cdot 0 = 0$$ - Para $x = 3$: $$f(3) = \cos\left(\frac{\pi}{2} \cdot 3\right) \cdot \ln(3^2 + 3 - 5) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) \cdot \ln(7) = 0 \cdot \ln(7) = 0$$ Como $f(2) = 0$ y $f(3) = 0$, se cumple que **$f(2) = f(3)$**.

Dado que se cumplen las tres hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo $[2, 3]$, podemos asegurar que: $$\boxed{\exists c \in (2, 3) \text{ tal que } f'(c) = 0}$$ Esto garantiza la existencia de al menos un punto crítico (un máximo o mínimo relativo) de la función en el interior del intervalo.