Geometría del cuadrado en el espacio

**(a) Calcula la ecuación de dicha recta. (0,5 puntos)** En un cuadrado $ABCD$, si $A$ y $B$ son vértices consecutivos, el lado $\overline{CD}$ debe ser paralelo al lado $\overline{AB}$. Por tanto, la recta $r$ que contiene a los vértices $C$ y $D$ tiene la misma dirección que el vector $\vec{AB}$. Calculamos el vector director $\vec{v_r} = \vec{AB}$: $$\vec{v_r} = B - A = (1 - 1, 4 - 0, 2 - (-1)) = (0, 4, 3)$$ Como la recta pasa por el punto $P(6, -4, -4)$, su ecuación paramétrica es: $$r: \begin{cases} x = 6 \\ y = -4 + 4\lambda \\ z = -4 + 3\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** En un cuadrado, los lados opuestos son paralelos, por lo que las rectas que los contienen comparten el mismo vector director. ✅ **Resultado (ecuación de la recta):** $$\boxed{r: (x, y, z) = (6, -4, -4) + \lambda(0, 4, 3)}$$

**(b) Calcula la ecuación del plano perpendicular al segmento $\overline{AB}$ que pasa por $A$. (0,75 puntos)** Un plano $\pi$ perpendicular al segmento $\overline{AB}$ tendrá como vector normal $\vec{n_\pi} = \vec{AB} = (0, 4, 3)$. La ecuación general de un plano con este vector normal es de la forma: $$0x + 4y + 3z + D = 0 \implies 4y + 3z + D = 0$$ Como el plano pasa por el punto $A(1, 0, -1)$, sustituimos sus coordenadas para hallar $D$: $$4(0) + 3(-1) + D = 0 \implies -3 + D = 0 \implies D = 3$$ La ecuación del plano es $4y + 3z + 3 = 0$. 💡 **Tip:** Si un plano es perpendicular a un segmento, el vector que une los extremos del segmento es el vector normal del plano. ✅ **Resultado (ecuación del plano):** $$\boxed{\pi: 4y + 3z + 3 = 0}$$

**(c) Calcula los otros dos vértices del cuadrado. (1,25 puntos)** En un cuadrado $ABCD$, el vértice $D$ es el punto de la recta $r$ tal que el lado $\overline{AD}$ es perpendicular al lado $\overline{AB}$. Esto significa que $D$ debe estar contenido en el plano $\pi$ calculado en el apartado anterior. Sustituimos las coordenadas genéricas de la recta $r$ del apartado (a) en la ecuación del plano $\pi$: $$4(-4 + 4\lambda) + 3(-4 + 3\lambda) + 3 = 0$$ $$-16 + 16\lambda - 12 + 9\lambda + 3 = 0$$ $$25\lambda - 25 = 0 \implies \lambda = 1$$ Sustituimos $\lambda = 1$ en la recta $r$ para obtener $D$: $$D = (6, -4 + 4(1), -4 + 3(1)) = (6, 0, -1)$$ 💡 **Tip:** El vértice $D$ es la proyección del vértice $A$ sobre la recta $r$. Al ser el lado $AD$ perpendicular al lado $AB$, el punto $D$ es la intersección de la recta $r$ con el plano perpendicular a $AB$ que pasa por $A$. ✅ **Resultado (Vértice D):** $$\boxed{D(6, 0, -1)}$$

Para hallar el vértice $C$, podemos utilizar la propiedad de que en un cuadrado los vectores de los lados opuestos son iguales: $$\vec{BC} = \vec{AD}$$ Primero calculamos el vector $\vec{AD}$: $$\vec{AD} = D - A = (6 - 1, 0 - 0, -1 - (-1)) = (5, 0, 0)$$ Ahora despejamos $C$: $$C = B + \vec{AD} = (1, 4, 2) + (5, 0, 0) = (6, 4, 2)$$ **Verificación opcional:** Comprobamos que la distancia entre los vértices sea la misma (lado del cuadrado): $$|\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + 3^2} = 5$$ $$|\vec{AD}| = \sqrt{5^2 + 0^2 + 0^2} = 5$$ Como las distancias coinciden y los vectores son perpendiculares, los puntos son correctos. ✅ **Resultado final (Vértices C y D):** $$\boxed{C(6, 4, 2) \text{ y } D(6, 0, -1)}$$