Ecuación de la recta que pasa por un punto y corta a otras dos

**B1) Calcula la ecuación continua de la recta $t$ que pasa por el punto $P(2, 0, -1)$ y corta a las siguientes rectas.** Para que una recta $t$ pase por un punto $P$ y corte a otras dos rectas $r$ y $s$, dicha recta $t$ debe estar contenida simultáneamente en: 1. El plano $\pi_1$ definido por el punto $P$ y la recta $s$. 2. El plano $\pi_2$ definido por el punto $P$ y la recta $r$. Por tanto, la recta buscada $t$ será la intersección de ambos planos: $t \equiv \pi_1 \cap \pi_2$. 💡 **Tip:** Este es el método más rápido para hallar la recta que pasa por un punto y corta a otras dos que se cruzan. Si las rectas fueran paralelas o se cortaran en el mismo punto $P$, el problema tendría infinitas soluciones o ninguna, pero aquí calcularemos los planos auxiliares.

La recta $s$ viene dada por sus ecuaciones implícitas: $$s \equiv \begin{cases} 2x + y - 3z - 6 = 0 \\ 2x - 3z - 8 = 0 \end{cases}$$ Para obtener un punto $Q_s$ y su vector director $\vec{v}_s$, resolvemos el sistema o usamos el producto vectorial de los normales. **1. Vector director $\vec{v}_s$:** $$\vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 2 & 0 & -3 \end{vmatrix}$$ Desarrollando por Sarrus: $$\vec{v}_s = \vec{i} \cdot [1 \cdot (-3) - 0 \cdot (-3)] - \vec{j} \cdot [2 \cdot (-3) - 2 \cdot (-3)] + \vec{k} \cdot [2 \cdot 0 - 2 \cdot 1]$$ $$\vec{v}_s = -3\vec{i} + 0\vec{j} - 2\vec{k} = (-3, 0, -2)$$ Podemos usar **$\vec{v}_s = (3, 0, 2)$** para mayor comodidad. **2. Punto $Q_s$:** Si hacemos $z = 0$ en la segunda ecuación: $2x - 8 = 0 \implies x = 4$. Sustituimos en la primera: $2(4) + y - 3(0) - 6 = 0 \implies 8 + y - 6 = 0 \implies y = -2$. Por tanto, un punto es **$Q_s(4, -2, 0)$**. 💡 **Tip:** Para encontrar un punto en una recta implícita, simplemente asigna un valor arbitrario a una de las variables (como $z=0$) y resuelve el sistema resultante.

El plano $\pi_1$ pasa por $P(2, 0, -1)$ y contiene a $s$ (punto $Q_s(4, -2, 0)$ y vector $\vec{v}_s(3, 0, 2)$). Los vectores directores del plano son $\vec{v}_s$ y $\vec{PQ_s}$: $$\vec{PQ_s} = Q_s - P = (4-2, -2-0, 0-(-1)) = (2, -2, 1)$$ La ecuación del plano $\pi_1$ es: $$\begin{vmatrix} x-2 & y-0 & z+1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x-2)[0 - (-4)] - y[3 - 4] + (z+1)[-6 - 0] = 0$$ $$4(x-2) + y - 6(z+1) = 0 \implies 4x - 8 + y - 6z - 6 = 0$$ $$\pi_1 \equiv 4x + y - 6z - 14 = 0$$

La recta $r$ es $r \equiv \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{1}$. Extraemos su punto $Q_r(-1, 0, -2)$ y su vector director $\vec{v}_r(2, 1, 1)$. El plano $\pi_2$ pasa por $P(2, 0, -1)$ y contiene a $r$. Sus vectores directores son $\vec{v}_r$ y $\vec{PQ_r}$: $$\vec{PQ_r} = Q_r - P = (-1-2, 0-0, -2-(-1)) = (-3, 0, -1)$$ La ecuación del plano $\pi_2$ es: $$\begin{vmatrix} x-2 & y-0 & z+1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -3 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x-2)[-1 - 0] - y[-2 - (-3)] + (z+1)[0 - (-3)] = 0$$ $$-1(x-2) - 1(y) + 3(z+1) = 0 \implies -x + 2 - y + 3z + 3 = 0$$ $$-x - y + 3z + 5 = 0 \implies \pi_2 \equiv x + y - 3z - 5 = 0$$

La recta $t$ es la intersección de $\pi_1$ y $\pi_2$: $$t \equiv \begin{cases} 4x + y - 6z - 14 = 0 \\ x + y - 3z - 5 = 0 \end{cases}$$ Necesitamos un punto (ya tenemos $P(2, 0, -1)$) y el vector director $\vec{v}_t$: $$\vec{v}_t = \vec{n}_{\pi_1} \times \vec{n}_{\pi_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 1 & -6 \\ 1 & 1 & -3 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v}_t = \vec{i}[-3 - (-6)] - \vec{j}[-12 - (-6)] + \vec{k}[4 - 1]$$ $$\vec{v}_t = 3\vec{i} + 6\vec{j} + 3\vec{k} = (3, 6, 3)$$ Simplificamos el vector dividiendo por 3: **$\vec{v}_t = (1, 2, 1)$**. 💡 **Tip:** Recuerda que para el vector director de una recta solo importa la dirección, por lo que puedes simplificar sus coordenadas dividiendo por un factor común.

Con el punto $P(2, 0, -1)$ y el vector director $\vec{v}_t(1, 2, 1)$, escribimos la ecuación continua de la recta: $$t \equiv \frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z}$$ Sustituyendo los valores: $$t \equiv \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 0}{2} = \frac{z - (-1)}{1}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{t \equiv \frac{x - 2}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{1}}$$