Cálculo del determinante de una expresión matricial

**A2) Sean $A$ y $B$ dos matrices cuadradas $3 \times 3$ tales que $|A| = \frac{1}{4}$ y $|B| = 2$. Calcula $|C|$ sabiendo que $C = 2 \cdot (A \cdot B^t)^2 \cdot (B^t)^{-1}$ (2,5 puntos)** Para calcular el determinante de la matriz $C$, debemos aplicar las propiedades de los determinantes sobre la expresión dada. Recordemos las propiedades fundamentales que utilizaremos: 1. **Determinante de un producto:** $|M \cdot N| = |M| \cdot |N|$. 2. **Determinante de una potencia:** $|M^k| = |M|^k$. 3. **Determinante de la traspuesta:** $|M^t| = |M|$. 4. **Determinante de la inversa:** $|M^{-1}| = \frac{1}{|M|}$ (si $|M| \neq 0$). 5. **Determinante de un escalar por una matriz:** $|k \cdot M| = k^n \cdot |M|$, donde $n$ es el orden de la matriz (en este caso $n=3$). Datos del problema: - $|A| = \frac{1}{4}$ - $|B| = 2$ - Orden de las matrices $n = 3$ 💡 **Tip:** Es crucial recordar que al sacar un escalar fuera de un determinante, este queda elevado al orden de la matriz.

Aplicamos el determinante a ambos lados de la igualdad $C = 2 \cdot (A \cdot B^t)^2 \cdot (B^t)^{-1}$: $$|C| = |2 \cdot (A \cdot B^t)^2 \cdot (B^t)^{-1}|$$ Primero, extraemos el escalar $2$. Como las matrices son de orden $3 \times 3$: $$|C| = 2^3 \cdot |(A \cdot B^t)^2 \cdot (B^t)^{-1}|$$ Ahora, aplicamos la propiedad del determinante de un producto: $$|C| = 8 \cdot |(A \cdot B^t)^2| \cdot |(B^t)^{-1}|$$ Aplicamos la propiedad de la potencia y de la inversa: $$|C| = 8 \cdot |A \cdot B^t|^2 \cdot \frac{1}{|B^t|}$$ Nuevamente aplicamos el determinante del producto y la propiedad de la traspuesta ($|B^t| = |B|$): $$|C| = 8 \cdot (|A| \cdot |B^t|)^2 \cdot \frac{1}{|B|} = 8 \cdot (|A| \cdot |B|)^2 \cdot \frac{1}{|B|}$$ Simplificamos la expresión antes de sustituir los valores: $$|C| = 8 \cdot |A|^2 \cdot |B|^2 \cdot \frac{1}{|B|} = 8 \cdot |A|^2 \cdot |B|$$ $$\boxed{|C| = 8 \cdot |A|^2 \cdot |B|}$$

Sustituimos los valores conocidos $|A| = \frac{1}{4}$ y $|B| = 2$ en la expresión simplificada: $$|C| = 8 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^2 \cdot 2$$ Realizamos las operaciones paso a paso: $$|C| = 8 \cdot \frac{1}{16} \cdot 2$$ $$|C| = \frac{8 \cdot 2}{16} = \frac{16}{16} = 1$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{|C| = 1}$$ 💡 **Tip:** Siempre conviene simplificar la expresión algebraica de los determinantes antes de sustituir los valores numéricos para evitar errores de cálculo con fracciones o potencias grandes.