Discusión y resolución de un sistema con parámetro real

**A1) Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $m$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ del sistema: $$A = \begin{pmatrix} m^2-3m & -m & 2m \\ m^2-3m & 3 & 3m \\ 3m-m^2 & m & -m \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} m^2-3m & -m & 2m & | & 3 \\ m^2-3m & 3 & 3m & | & m+9 \\ 3m-m^2 & m & -m & | & 0 \end{pmatrix}$$ Para estudiar el sistema utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, que establece la relación entre los rangos de las matrices $A$ y $A^*$ y el número de incógnitas ($n=3$) para determinar la compatibilidad del sistema. Calculamos el determinante de $A$ para hallar los valores críticos de $m$: $$|A| = \begin{vmatrix} m^2-3m & -m & 2m \\ m^2-3m & 3 & 3m \\ -(m^2-3m) & m & -m \end{vmatrix}$$ Sumamos la primera fila a la tercera ($F_3 \to F_3 + F_1$): $$|A| = \begin{vmatrix} m^2-3m & -m & 2m \\ m^2-3m & 3 & 3m \\ 0 & 0 & m \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera fila: $$|A| = m \begin{vmatrix} m^2-3m & -m \\ m^2-3m & 3 \end{vmatrix} = m \left[ 3(m^2-3m) - (-m)(m^2-3m) \right]$$ $$|A| = m (m^2-3m)(3+m) = m \cdot m(m-3)(3+m) = m^2(m-3)(m+3)$$ Los valores que anulan el determinante son **$m=0$**, **$m=3$** y **$m=-3$**. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos dice que si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*)$ el sistema es compatible, y si además es igual al número de incógnitas, es determinado.

Analizamos los casos según el valor de $m$: * **Caso 1: $m \neq 0, 3, -3$** $|A| \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 3 = \text{rang}(A^*)$. El sistema es **Compatible Determinado (S.C.D.)**. * **Caso 2: $m = 0$** $$A^* = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & | & 3 \\ 0 & 3 & 0 & | & 9 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$$ La primera ecuación queda $0 = 3$, lo cual es imposible. $\text{rang}(A)=1$ y $\text{rang}(A^*)=2$. El sistema es **Incompatible (S.I.)**. * **Caso 3: $m = 3$** $$A^* = \begin{pmatrix} 0 & -3 & 6 & | & 3 \\ 0 & 3 & 9 & | & 12 \\ 0 & 3 & -3 & | & 0 \end{pmatrix}$$ $\text{rang}(A)=2$ (el menor $\begin{vmatrix} -3 & 6 \\ 3 & 9 \end{vmatrix} \neq 0$). El rango de $A^*$ también es 2 ya que el determinante de las columnas 2, 3 y 4 es cero. Como $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (S.C.I.)**. * **Caso 4: $m = -3$** $$A^* = \begin{pmatrix} 18 & 3 & -6 & | & 3 \\ 18 & 3 & -9 & | & 6 \\ -18 & -3 & 3 & | & 0 \end{pmatrix}$$ Similarmente, $\text{rang}(A)=2$ (menor $\begin{vmatrix} 3 & -9 \\ -3 & 3 \end{vmatrix} \neq 0$). Estudiando $A^*$, vemos que $F_1+F_3 = (0,0,-3,3)$ y $F_2+F_3 = (0,0,-6,6)$, que son proporcionales. Por tanto, $\text{rang}(A^*) = 2$. El sistema es **Compatible Indeterminado (S.C.I.)**. $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline m & \text{rang}(A) & \text{rang}(A^*) & \text{Tipo de sistema} \\ \hline m \neq 0, \pm 3 & 3 & 3 & \text{S.C.D.} \\ m = 0 & 1 & 2 & \text{S.I.} \\ m = 3 & 2 & 2 & \text{S.C.I.} \\ m = -3 & 2 & 2 & \text{S.C.I.} \\ \hline \end{array}$$

Para $m \neq 0, 3, -3$, resolvemos el sistema. Usamos la Regla de Cramer. Ya sabemos que $\Delta = m^2(m-3)(m+3)$. Calculamos los determinantes de las incógnitas: $$\Delta_x = \begin{vmatrix} 3 & -m & 2m \\ m+9 & 3 & 3m \\ 0 & m & -m \end{vmatrix} = m(m-3)(m+3) \implies x = \frac{m(m-3)(m+3)}{m^2(m-3)(m+3)} = \frac{1}{m}$$ $$\Delta_y = \begin{vmatrix} m^2-3m & 3 & 2m \\ m^2-3m & m+9 & 3m \\ -(m^2-3m) & 0 & -m \end{vmatrix} = m^2(m-3)(m+3) \implies y = \frac{m^2(m-3)(m+3)}{m^2(m-3)(m+3)} = 1$$ $$\Delta_z = \begin{vmatrix} m^2-3m & -m & 3 \\ m^2-3m & 3 & m+9 \\ -(m^2-3m) & m & 0 \end{vmatrix} = 3m(m-3)(m+3) \implies z = \frac{3m(m-3)(m+3)}{m^2(m-3)(m+3)} = \frac{3}{m}$$ ✅ **Resultado para $m \neq 0, \pm 3$:** $$\boxed{(x, y, z) = \left( \frac{1}{m}, 1, \frac{3}{m} \right)}$$

Para **$m = 3$**, el sistema es compatible indeterminado. La matriz es: $$\begin{pmatrix} 0 & -3 & 6 & | & 3 \\ 0 & 3 & 9 & | & 12 \\ 0 & 3 & -3 & | & 0 \end{pmatrix}$$ De la tercera fila: $3y - 3z = 0 \implies y = z$. Sustituyendo en la segunda: $3(z) + 9z = 12 \implies 12z = 12 \implies z = 1, y = 1$. Como la columna de las $x$ es nula, $x$ puede tomar cualquier valor $\lambda \in \mathbb{R}$. ✅ **Resultado para $m = 3$:** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda, 1, 1), \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

Para **$m = -3$**, el sistema también es compatible indeterminado: $$\begin{pmatrix} 18 & 3 & -6 & | & 3 \\ 18 & 3 & -9 & | & 6 \\ -18 & -3 & 3 & | & 0 \end{pmatrix}$$ Sumando $F_2 + F_3$: $-6z = 6 \implies z = -1$. Sustituyendo en $F_1$: $18x + 3y - 6(-1) = 3 \implies 18x + 3y = -3 \implies 6x + y = -1$. Si parametrizamos $x = \lambda$, entonces $y = -1 - 6\lambda$. ✅ **Resultado para $m = -3$:** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda, -1-6\lambda, -1), \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$