Estudio del precio de la luz: extremos y valor medio

**(a) Calcula los instantes en los que el precio ha sido máximo y en los que ha sido mínimo.** Para encontrar los máximos y mínimos de la función $p(t)$ en el intervalo cerrado $[0, 1]$, primero calculamos su derivada $p'(t)$ e igualamos a cero para encontrar los puntos críticos. La función es $p(t) = 0,15 + \sin^2\left(\frac{\pi}{2} t\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} t\right)$. Usamos la regla de la cadena y la regla del producto: $$p'(t) = 0 + \left[2\sin\left(\frac{\pi}{2} t\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} t\right) \cdot \frac{\pi}{2}\right] \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} t\right) + \sin^2\left(\frac{\pi}{2} t\right) \cdot \left[-\sin\left(\frac{\pi}{2} t\right) \cdot \frac{\pi}{2}\right]$$ Simplificamos factorizando $\frac{\pi}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2} t\right)$: $$p'(t) = \frac{\pi}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2} t\right) \left[ 2\cos^2\left(\frac{\pi}{2} t\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{2} t\right) \right]$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\sin^2(u)$ es $2\sin(u)\cos(u)u'$ y la de $\cos(u)$ es $-\sin(u)u'$.

Igualamos la derivada a cero, $p'(t) = 0$, en el intervalo $[0, 1]$: 1. $\sin\left(\frac{\pi}{2} t\right) = 0 \implies \frac{\pi}{2} t = 0 \implies \mathbf{t = 0}$. 2. $2\cos^2\left(\frac{\pi}{2} t\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{2} t\right) = 0$ Dividimos entre $\cos^2\left(\frac{\pi}{2} t\right)$ (que no es cero en el punto buscado): $$2 - \tan^2\left(\frac{\pi}{2} t\right) = 0 \implies \tan^2\left(\frac{\pi}{2} t\right) = 2 \implies \tan\left(\frac{\pi}{2} t\right) = \sqrt{2}$$ (Tomamos solo la raíz positiva porque para $t \in [0, 1]$, el argumento $\frac{\pi}{2}t$ está en el primer cuadrante). $$\frac{\pi}{2} t = \arctan(\sqrt{2}) \implies \mathbf{t^* = \frac{2}{\pi} \arctan(\sqrt{2}) \approx 0,6033}$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización en intervalos cerrados, debemos comparar los valores de la función en los extremos del intervalo ($t=0$ y $t=1$) y en los puntos críticos interiores.

Evaluamos $p(t)$ en los puntos candidatos: $t=0$, $t=1$ y $t^* = \frac{2}{\pi} \arctan(\sqrt{2})$. - En $t = 0$: $p(0) = 0,15 + \sin^2(0) \cdot \cos(0) = 0,15 + 0 = 0,15$. - En $t = 1$: $p(1) = 0,15 + \sin^2(\frac{\pi}{2}) \cdot \cos(\frac{\pi}{2}) = 0,15 + 1^2 \cdot 0 = 0,15$. - En $t^*$: Sabemos que $\tan(\alpha) = \sqrt{2}$, por lo que $\sin^2(\alpha) = \frac{2}{3}$ y $\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. $$p(t^*) = 0,15 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 0,15 + \frac{2}{3\sqrt{3}} \approx 0,15 + 0,3849 = 0,5349.$$ **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccc} t & 0 & (0, t^*) & t^* & (t^*, 1) & 1 \\\hline p'(t) & 0 & + & 0 & - & -\frac{\pi}{2} \\\hline p(t) & 0,15 & \nearrow & 0,5349 & \searrow & 0,15 \end{array}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo en } t = \frac{2}{\pi} \arctan(\sqrt{2}) \approx 0,6033, \quad \text{Mínimos en } t = 0 \text{ y } t = 1}$$

**(b) Calcula el precio medio $\bar{p}$ de la luz entre los instantes $t_0 = 0$ y $t_1 = 1$.** Aplicamos la fórmula del valor medio en el intervalo $[0, 1]$: $$\bar{p} = \frac{1}{1 - 0} \int_{0}^{1} \left[ 0,15 + \sin^2\left(\frac{\pi}{2} t\right) \cos\left(\frac{\pi}{2} t\right) \right] dt$$ Podemos separar la integral en dos partes por la propiedad de linealidad: $$\bar{p} = \int_{0}^{1} 0,15 \, dt + \int_{0}^{1} \sin^2\left(\frac{\pi}{2} t\right) \cos\left(\frac{\pi}{2} t\right) dt$$ La primera es inmediata: $$\int_{0}^{1} 0,15 \, dt = [0,15 t]_0^1 = 0,15.$$ 💡 **Tip:** La integral de una constante $k$ en $[a, b]$ es simplemente $k(b-a)$.

Para la segunda parte, observamos que tenemos una función elevada a una potencia multiplicada por su derivada (salvo constantes). Usamos el cambio de variable: $u = \sin\left(\frac{\pi}{2} t\right) \implies du = \frac{\pi}{2} \cos\left(\frac{\pi}{2} t\right) dt \implies dt = \frac{2}{\pi \cos(\frac{\pi}{2} t)} du$. Cambiamos los límites de integración: - Si $t = 0 \implies u = \sin(0) = 0$. - Si $t = 1 \implies u = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. La integral se convierte en: $$\int_{0}^{1} u^2 \cdot \frac{2}{\pi} du = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{1} u^2 du$$ Calculamos la primitiva y aplicamos Barrow: $$\frac{2}{\pi} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = \frac{2}{\pi} \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{2}{3\pi}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int f(x)^n f'(x) dx = \frac{f(x)^{n+1}}{n+1} + C$.

Sumamos ambos resultados para obtener el precio medio: $$\bar{p} = 0,15 + \frac{2}{3\pi}$$ Si aproximamos el valor (usando $\pi \approx 3,14159$): $$\bar{p} \approx 0,15 + 0,2122 = 0,3622$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\bar{p} = 0,15 + \frac{2}{3\pi} \approx 0,3622}$$