Optimización del número de máquinas para minimizar costes

Para resolver este problema de optimización, primero definimos la variable principal: - $x$: número de máquinas empleadas. El enunciado indica que el tiempo necesario ($T$) para completar el trabajo es inversamente proporcional al número de máquinas. Si con 1 máquina se tardan 80 horas, la relación es: $$T(x) = \frac{80}{x}$$ donde $T$ es el tiempo de duración del trabajo en horas. 💡 **Tip:** En proporcionalidad inversa, el producto de las magnitudes es constante: $1 \cdot 80 = x \cdot T \implies T = 80/x$.

El gasto total $C(x)$ es la suma de tres conceptos: 1. **Gasto de puesta en marcha:** 10 € por cada máquina. $$G_1 = 10x$$ 2. **Gasto por hora de uso de las máquinas:** 5 € por cada hora que cada máquina está funcionando. Como hay $x$ máquinas funcionando durante $T$ horas cada una, el total de horas-máquina es $x \cdot T = x \cdot \frac{80}{x} = 80$ horas. Por tanto, el coste es fijo: $$G_2 = 5 \cdot 80 = 400 \text{ €}$$ 3. **Gasto del operario:** 18 € por cada hora que dure el trabajo ($T$). $$G_3 = 18 \cdot T = 18 \cdot \frac{80}{x} = \frac{1440}{x}$$ Sumamos todos los componentes para obtener la función de coste total: $$C(x) = 10x + 400 + \frac{1440}{x}$$ El dominio de la función en este contexto es $x \in (0, +\infty)$, aunque buscaremos una solución entera al tratarse de máquinas.

Para minimizar el gasto, derivamos la función $C(x)$ con respecto a $x$ e igualamos a cero: $$C'(x) = \frac{d}{dx} \left( 10x + 400 + 1440x^{-1} \right)$$ $$C'(x) = 10 - \frac{1440}{x^2}$$ Igualamos la primera derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$10 - \frac{1440}{x^2} = 0 \implies 10 = \frac{1440}{x^2} \implies x^2 = \frac{1440}{10} = 144$$ $$x = \sqrt{144} = 12$$ (Descartamos la solución negativa $x = -12$ por carecer de sentido físico). 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $1/x$ es $-1/x^2$.

Para justificar que en $x = 12$ existe un mínimo, podemos estudiar el signo de la derivada segunda $C''(x)$: $$C''(x) = \frac{d}{dx} \left( 10 - 1440x^{-2} \right) = 0 - 1440(-2)x^{-3} = \frac{2880}{x^3}$$ Evaluamos en el punto crítico $x = 12$: $$C''(12) = \frac{2880}{12^3} = \frac{2880}{1728} > 0$$ Como $C''(12) > 0$, la función es convexa en ese punto y, por tanto, existe un **mínimo relativo**. También podemos verificar el cambio de signo de $C'(x)$ mediante una tabla de monotonía: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 12) & 12 & (12, +\infty) \\\hline C'(x) & - & 0 & + \\\hline C(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El número de máquinas a usar es } 12}$$