Área entre curvas: Trigonométrica y Polinómica

Para hallar los puntos de corte entre las funciones $f(x) = \sin(\pi x)$ y $g(x) = x^3 - x$, debemos igualar ambas expresiones y resolver la ecuación: $$\sin(\pi x) = x^3 - x$$ Esta es una ecuación trascendente (mezcla funciones trigonométricas y polinómicas), por lo que buscaremos soluciones enteras o evidentes: 1. Si **$x = 0$**: $f(0) = \sin(0) = 0$ $g(0) = 0^3 - 0 = 0$ Punto: $(0, 0)$. 2. Si **$x = 1$**: $f(1) = \sin(\pi) = 0$ $g(1) = 1^3 - 1 = 0$ Punto: $(1, 0)$. 3. Si **$x = -1$**: $f(-1) = \sin(-\pi) = 0$ $g(-1) = (-1)^3 - (-1) = -1 + 1 = 0$ Punto: $(-1, 0)$. 💡 **Tip:** En este tipo de ejercicios de examen, si no se puede despejar la $x$, suele haber soluciones sencillas como $0, 1, -1$. El enunciado nos confirma que hay exactamente tres puntos. Los tres puntos de corte son: $$\boxed{(-1, 0), (0, 0) \text{ y } (1, 0)}$$

Las curvas se cortan en $x = -1$, $x = 0$ y $x = 1$, lo que genera dos recintos cerrados: $[-1, 0]$ y $[0, 1]$. Observemos la paridad de las funciones: - $f(-x) = \sin(\pi(-x)) = -\sin(\pi x) = -f(x)$ (**Función impar**). - $g(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -g(x)$ (**Función impar**). Al ser ambas impares, el área encerrada en el intervalo $[-1, 0]$ es idéntica a la del intervalo $[0, 1]$ por simetría respecto al origen. Por tanto: $$\text{Área Total} = 2 \int_{0}^{1} |f(x) - g(x)| \, dx$$ Determinamos qué función está por encima en $(0, 1)$ evaluando en $x = 0.5$: - $f(0.5) = \sin(\pi/2) = 1$ - $g(0.5) = (0.5)^3 - 0.5 = 0.125 - 0.5 = -0.375$ Como $f(0.5) \gt g(0.5)$, en el intervalo $(0, 1)$ se cumple que $f(x) \ge g(x)$.

Calculamos el área del recinto en el intervalo $[0, 1]$ y multiplicamos por 2: $$A = 2 \int_{0}^{1} (f(x) - g(x)) \, dx = 2 \int_{0}^{1} (\sin(\pi x) - (x^3 - x)) \, dx$$ $$A = 2 \int_{0}^{1} (\sin(\pi x) - x^3 + x) \, dx$$ Buscamos una primitiva $H(x)$ para la expresión: $$\int \sin(\pi x) \, dx = -\frac{1}{\pi} \cos(\pi x)$$ $$\int (-x^3 + x) \, dx = -\frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2}$$ La primitiva completa es: $$H(x) = -\frac{1}{\pi} \cos(\pi x) - \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \sin(ax) \, dx = -\frac{1}{a} \cos(ax) + C$.

Aplicamos la regla de Barrow en el intervalo $[0, 1]$: $$A = 2 \cdot \left[ -\frac{1}{\pi} \cos(\pi x) - \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}$$ Evaluamos en los límites: - Para $x = 1$: $$H(1) = -\frac{1}{\pi} \cos(\pi) - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{\pi}(-1) + \frac{1}{4} = \frac{1}{\pi} + \frac{1}{4}$$ - Para $x = 0$: $$H(0) = -\frac{1}{\pi} \cos(0) - 0 + 0 = -\frac{1}{\pi}$$ Restamos los valores: $$A = 2 \cdot (H(1) - H(0)) = 2 \cdot \left( \left( \frac{1}{\pi} + \frac{1}{4} \right) - \left( -\frac{1}{\pi} \right) \right)$$ $$A = 2 \cdot \left( \frac{1}{\pi} + \frac{1}{4} + \frac{1}{\pi} \right) = 2 \cdot \left( \frac{2}{\pi} + \frac{1}{4} \right)$$ $$A = \frac{4}{\pi} + \frac{1}{2}$$ Calculando el valor aproximado: $$A \approx 1.273 + 0.5 = 1.773 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{4}{\pi} + \frac{1}{2} \approx 1.773 \text{ u}^2}$$