Teoremas de Bolzano y Rolle con funciones exponenciales y trigonométricas

**(a) Demuestra que existe un punto $c$ en $(2, 3)$ tal que $f(c) = \frac{1}{2}$. Enuncia y justifica el resultado teórico empleado. (1,25 puntos)** Para demostrar que la función toma el valor $1/2$ en el intervalo $(2, 3)$, utilizaremos el **Teorema de Bolzano** aplicado a una función auxiliar, o bien el **Teorema de los Valores Intermedios**. **Teorema de Bolzano:** Si una función $g(x)$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ y el signo de la función en los extremos es distinto ($g(a) \cdot g(b) \lt 0$), entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $g(c) = 0$. Definimos la función auxiliar: $$g(x) = f(x) - \frac{1}{2} = e^{x \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} \cdot x\right)} - \frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** Queremos ver si $f(c) = 1/2$, lo que equivale a buscar un cero de $g(x) = f(x) - 1/2$.

Primero, justificamos la continuidad: la función $f(x)$ es continua en todo $\mathbb{R}$ por ser composición y producto de funciones continuas (exponencial, polinómica y trigonométrica). Por tanto, $g(x)$ también es continua en el intervalo $[2, 3]$. Calculamos los valores de $f(x)$ en los extremos del intervalo: 1. Para $x = 2$: $$f(2) = e^{2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} \cdot 2\right)} = e^{2 \cdot \sin(\pi)} = e^{2 \cdot 0} = e^0 = 1$$ Por tanto, $g(2) = 1 - 0.5 = 0.5 \gt 0$. 2. Para $x = 3$: $$f(3) = e^{3 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} \cdot 3\right)} = e^{3 \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)} = e^{3 \cdot (-1)} = e^{-3} = \frac{1}{e^3}$$ Sabiendo que $e \approx 2.718$, entonces $e^3 \approx 20.08$, por lo que $f(3) = \frac{1}{e^3} \approx 0.0498$. Por tanto, $g(3) = \frac{1}{e^3} - 0.5 \approx 0.0498 - 0.5 = -0.4502 \lt 0$. 💡 **Tip:** Recuerda los valores del seno: $\sin(\pi) = 0$ y $\sin(3\pi/2) = -1$.

Como $g(x)$ es continua en $[2, 3]$ y toma signos opuestos en los extremos: $$g(2) = 0.5 \gt 0 \quad \text{y} \quad g(3) = e^{-3} - 0.5 \lt 0$$ Según el **Teorema de Bolzano**, existe al menos un punto $c \in (2, 3)$ tal que $g(c) = 0$. Esto implica que: $$f(c) - \frac{1}{2} = 0 \implies f(c) = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\exists c \in (2, 3) : f(c) = 1/2}$$ "

**(b) Demuestra que existe un punto $d$ en $(0, 2)$ tal que $f'(d) = 0$. Enuncia y justifica el resultado teórico empleado. (1,25 puntos)** Para demostrar que la derivada se anula en algún punto de un intervalo, utilizamos el **Teorema de Rolle**. **Teorema de Rolle:** Sea $f(x)$ una función que cumple: 1. Es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$. 2. Es derivable en el intervalo abierto $(a, b)$. 3. Los valores en los extremos son iguales: $f(a) = f(b)$. Entonces, existe al menos un punto $d \in (a, b)$ tal que $f'(d) = 0$. 💡 **Tip:** Este teorema es fundamental para asegurar la existencia de máximos o mínimos relativos (puntos críticos) donde la tangente es horizontal.

Comprobamos las hipótesis para $f(x) = e^{x \cdot \sin(\frac{\pi}{2} \cdot x)}$ en el intervalo $[0, 2]$: 1. **Continuidad:** Como se mencionó antes, $f(x)$ es continua en $\mathbb{R}$, luego es continua en $[0, 2]$. 2. **Derivabilidad:** $f(x)$ es derivable en $\mathbb{R}$ (por ser composición de funciones derivables), luego es derivable en $(0, 2)$. 3. **Igualdad en los extremos:** - Para $x = 0$: $f(0) = e^{0 \cdot \sin(0)} = e^0 = 1$. - Para $x = 2$: $f(2) = e^{2 \cdot \sin(\pi)} = e^{2 \cdot 0} = e^0 = 1$. Como $f(0) = f(2) = 1$, se cumplen todas las condiciones del teorema. Por lo tanto, existe al menos un punto $d \in (0, 2)$ tal que $f'(d) = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\exists d \in (0, 2) : f'(d) = 0}$$