Plano mediador y planos paralelos a una distancia dada

El plano que equidista de dos puntos $A$ y $B$ es el **plano mediador** del segmento $AB$. Este plano cumple dos condiciones geométricas fundamentales: 1. Pasa por el **punto medio** $M$ del segmento $AB$. 2. Tiene como **vector normal** $\vec{n}$ la dirección del segmento $\vec{AB}$. Primero, calculamos el punto medio $M$: $$M = \frac{A + B}{2} = \left( \frac{3 + 1}{2}, \frac{3 + (-1)}{2}, \frac{5 + 1}{2} \right) = (2, 1, 3)$$ Calculamos ahora el vector $\vec{AB}$: $$\vec{AB} = B - A = (1 - 3, -1 - 3, 1 - 5) = (-2, -4, -4)$$ 💡 **Tip:** Podemos simplificar el vector normal dividiendo por $-2$ para trabajar con números más sencillos: $\vec{n} = (1, 2, 2)$.

Utilizamos el punto $M(2, 1, 3)$ y el vector normal $\vec{n} = (1, 2, 2)$. La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituyendo el vector normal: $$1x + 2y + 2z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que pase por el punto $M(2, 1, 3)$: $$1(2) + 2(1) + 2(3) + D = 0 \implies 2 + 2 + 6 + D = 0 \implies 10 + D = 0 \implies D = -10$$ La ecuación del plano equidista de $A$ y $B$ (denotémoslo por $\pi$) es: $$\boxed{\pi: x + 2y + 2z - 10 = 0}$$

Buscamos los planos $\pi'$ que distan $d = 6u$ del plano $\pi: x + 2y + 2z - 10 = 0$. Cualquier plano paralelo a $\pi$ tendrá la forma: $$\pi': x + 2y + 2z + D' = 0$$ La fórmula de la distancia entre dos planos paralelos $Ax+By+Cz+D_1=0$ y $Ax+By+Cz+D_2=0$ es: $$d(\pi, \pi') = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ En nuestro caso: $$6 = \frac{|D' - (-10)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|D' + 10|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|D' + 10|}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia entre un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ y un plano es $\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$. Al ser planos paralelos, basta con comparar sus coeficientes $D$.

De la expresión anterior tenemos: $$|D' + 10| = 6 \cdot 3 \implies |D' + 10| = 18$$ Esto nos da dos soluciones posibles: 1. **Caso 1:** $D' + 10 = 18 \implies D' = 8$ 2. **Caso 2:** $D' + 10 = -18 \implies D' = -28$ Por tanto, las ecuaciones de los dos planos buscados son: $$\pi_1: x + 2y + 2z + 8 = 0$$ $$\pi_2: x + 2y + 2z - 28 = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x + 2y + 2z + 8 = 0 \quad \text{y} \quad x + 2y + 2z - 28 = 0}$$