Cálculo de la recta perpendicular común a dos rectas

Para trabajar con la recta $r$, que viene dada como intersección de dos planos, necesitamos obtener su vector director $\vec{v}_r$ y un punto $P_r$. El vector director se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales a los planos que la definen, $\vec{n}_1 = (1, 1, -2)$ y $\vec{n}_2 = (1, 0, 1)$: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v}_r = \vec{i}(1 \cdot 1 - (-2) \cdot 0) - \vec{j}(1 \cdot 1 - (-2) \cdot 1) + \vec{k}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1)$$ $$\vec{v}_r = 1\vec{i} - 3\vec{j} - 1\vec{k} = (1, -3, -1)$$ Para el punto $P_r$, fijamos una coordenada, por ejemplo $z = 0$, en el sistema de $r$: $$\begin{cases} x + y - 10 = 0 \\ x - 3 = 0 \end{cases} \implies x = 3, \quad 3 + y - 10 = 0 \implies y = 7$$ $$\boxed{P_r(3, 7, 0), \quad \vec{v}_r(1, -3, -1)}$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada por dos planos siempre es perpendicular a los vectores normales de dichos planos.

La recta $s$ está en forma continua, por lo que podemos extraer directamente sus elementos: $$s \equiv \frac{x - 4}{-1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{-1}$$ De los denominadores obtenemos el vector director $\vec{v}_s$ y de los numeradores (cambiando el signo) el punto $P_s$: $$\boxed{P_s(4, -1, 0), \quad \vec{v}_s(-1, 1, -1)}$$

La recta $t$ debe ser perpendicular tanto a $r$ como a $s$. Por tanto, su vector director $\vec{v}_t$ será el producto vectorial de $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$: $$\vec{v}_t = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -3 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v}_t = \vec{i}((-3) \cdot (-1) - (-1) \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot (-1) - (-1) \cdot (-1)) + \vec{k}(1 \cdot 1 - (-3) \cdot (-1))$$ $$\vec{v}_t = \vec{i}(3 + 1) - \vec{j}(-1 - 1) + \vec{k}(1 - 3)$$ $$\vec{v}_t = 4\vec{i} + 2\vec{j} - 2\vec{k} = (4, 2, -2)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por 2: $$\boxed{\vec{v}_t = (2, 1, -1)}$$ 💡 **Tip:** Simplificar los vectores directores facilita los cálculos posteriores, siempre que no necesitemos conservar una magnitud específica (como en distancias).

Para determinar la recta $t$ (perpendicular común), utilizaremos el método de la intersección de dos planos. El plano $\pi_1$ contiene a la recta $r$ y tiene la dirección de $t$. Se construye con el punto $P_r(3, 7, 0)$ y los vectores $\vec{v}_r(1, -3, -1)$ y $\vec{v}_t(2, 1, -1)$: $$\pi_1 \equiv \begin{vmatrix} x - 3 & y - 7 & z \\ 1 & -3 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos: $$(x - 3)(3 + 1) - (y - 7)(-1 + 2) + z(1 + 6) = 0$$ $$4(x - 3) - (y - 7) + 7z = 0$$ $$4x - 12 - y + 7 + 7z = 0$$ $$\boxed{\pi_1 \equiv 4x - y + 7z - 5 = 0}$$

El plano $\pi_2$ contiene a la recta $s$ y tiene la dirección de $t$. Se construye con el punto $P_s(4, -1, 0)$ y los vectores $\vec{v}_s(-1, 1, -1)$ y $\vec{v}_t(2, 1, -1)$: $$\pi_2 \equiv \begin{vmatrix} x - 4 & y + 1 & z \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos: $$(x - 4)(-1 + 1) - (y + 1)(1 + 2) + z(-1 - 2) = 0$$ $$0 - 3(y + 1) - 3z = 0 \implies -3y - 3 - 3z = 0$$ Dividiendo entre $-3$: $$\boxed{\pi_2 \equiv y + z + 1 = 0}$$ La recta $t$ será la intersección de $\pi_1$ y $\pi_2$.

Buscamos un punto $P_t$ que pertenezca a la intersección de los planos $\pi_1$ y $\pi_2$: $$\begin{cases} 4x - y + 7z - 5 = 0 \\ y + z + 1 = 0 \end{cases}$$ Si hacemos $z = 0$, de la segunda ecuación obtenemos $y = -1$. Sustituimos en la primera: $$4x - (-1) + 7(0) - 5 = 0 \implies 4x + 1 - 5 = 0 \implies 4x = 4 \implies x = 1$$ El punto es $P_t(1, -1, 0)$. Con el vector director $\vec{v}_t(2, 1, -1)$, la ecuación continua es: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{t \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{-1}}$$