Cálculo del determinante de una expresión matricial

Para calcular el determinante de la matriz $C$, comenzamos aplicando la propiedad del determinante de una matriz multiplicada por un escalar. Si $M$ es una matriz de orden $n \times n$ y $k$ es un número real, se cumple que $|k \cdot M| = k^n \cdot |M|$. En este caso, como $A$ y $B$ son matrices $3 \times 3$, la matriz resultante de las operaciones dentro del paréntesis también será de orden $3$. Por tanto, con $k=3$ y $n=3$: $$|C| = |3 \cdot (A^t)^2 \cdot (A \cdot B)^{-1}| = 3^3 \cdot |(A^t)^2 \cdot (A \cdot B)^{-1}|$$ $$|C| = 27 \cdot |(A^t)^2 \cdot (A \cdot B)^{-1}|$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el escalar sale del determinante elevado a la dimensión de la matriz. Es un error común olvidar elevar el número al orden de la matriz.

Utilizamos ahora la propiedad que establece que el determinante de un producto de matrices es igual al producto de sus determinantes: $|M \cdot N| = |M| \cdot |N|$. Desglosamos la expresión anterior: $$|C| = 27 \cdot |(A^t)^2| \cdot |(A \cdot B)^{-1}|$$ 💡 **Tip:** Esta propiedad es muy potente porque nos permite trabajar con cada bloque de la expresión por separado.

Aplicamos las siguientes propiedades de los determinantes: 1. **Potencia:** $|M^k| = |M|^k$ 2. **Traspuesta:** $|M^t| = |M|$ 3. **Inversa:** $|M^{-1}| = \frac{1}{|M|}$ (siempre que $|M| \neq 0$) Para el primer término: $$|(A^t)^2| = |A^t|^2 = |A|^2$$ Para el segundo término: $$|(A \cdot B)^{-1}| = \frac{1}{|A \cdot B|} = \frac{1}{|A| \cdot |B|}$$ Sustituyendo estos desarrollos en la fórmula de $|C|$: $$|C| = 27 \cdot |A|^2 \cdot \frac{1}{|A| \cdot |B|}$$ Simplificando la expresión (cancelando un $|A|$): $$|C| = 27 \cdot \frac{|A|}{|B|}$$ 💡 **Tip:** Siempre intenta simplificar la expresión algebraica antes de sustituir los valores numéricos para evitar errores de cálculo.

Finalmente, sustituimos los valores conocidos proporcionados en el enunciado: $|A| = \frac{1}{3}$ y $|B| = 3$. $$|C| = 27 \cdot \frac{1/3}{3}$$ Operamos paso a paso: $$|C| = 27 \cdot \frac{1}{3 \cdot 3} = 27 \cdot \frac{1}{9}$$ $$|C| = \frac{27}{9} = 3$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{|C| = 3}$$