Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro m

**A1) Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $m$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible... Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} m^2-m & m+2 & -1 \ m^2-m & 2m+1 & 0 \ m-m^2 & -(2m+1) & m+2 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} m^2-m & m+2 & -1 & 1-m^2 \ m^2-m & 2m+1 & 0 & 2 \ m-m^2 & -(2m+1) & m+2 & 2m+2 \end{array}\right)$$ Para estudiar el sistema según el parámetro $m$, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, que relaciona el rango de las matrices con el tipo de solución.

Calculamos el determinante de $A$ para hallar los valores críticos de $m$. Para simplificar, realizamos la operación elemental entre filas $F_3 \leftarrow F_3 + F_2$: $$|A| = \begin{vmatrix} m^2-m & m+2 & -1 \ m^2-m & 2m+1 & 0 \ 0 & 0 & m+2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera fila: $$|A| = (m+2) \cdot \begin{vmatrix} m^2-m & m+2 \ m^2-m & 2m+1 \end{vmatrix}$$ Extraemos el factor común $(m^2-m) = m(m-1)$ de la primera columna: $$|A| = (m+2)m(m-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & m+2 \ 1 & 2m+1 \end{vmatrix} = (m+2)m(m-1) \cdot [(2m+1) - (m+2)]$$ $$|A| = m(m+2)(m-1)(m-1) = m(m+2)(m-1)^2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$|A| = 0 \implies \mathbf{m = 0, \, m = -2, \, m = 1}$$ 💡 **Tip:** Aplicar propiedades de los determinantes (como sumar filas) antes de calcular facilita enormemente la factorización del polinomio resultante.

El **Teorema de Rouché-Frobenius** establece que: 1. Si $Rank(A) = Rank(A^*) = n$ (nº incógnitas), el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. 2. Si $Rank(A) = Rank(A^*) < n$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. 3. Si $Rank(A) \neq Rank(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**. Analizamos los casos: **Caso 1: $m \neq 0, -2, 1$** $|A| \neq 0 \implies Rank(A) = 3 = Rank(A^*) = n$. El sistema es **SCD** (solución única). **Caso 2: $m = 0$** $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$. $Rank(A)=2$ (menor $\begin{vmatrix} 1 & 0 \ -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \neq 0$). Analizamos un menor de $A^*$ con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \ 1 & 0 & 2 \ -1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 0 + 2 + 2 - (0 + 8 - 2) = 4 - 6 = -2 \neq 0 \implies Rank(A^*) = 3$$ Como $Rank(A) \neq Rank(A^*)$, es un **Sistema Incompatible (SI)**.

**Caso 3: $m = 1$** $A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \ 0 & 3 & 0 \ 0 & -3 & 3 \end{pmatrix}$. $Rank(A)=2$ (menor $\begin{vmatrix} 3 & -1 \ 3 & 0 \end{vmatrix} = 3 \neq 0$). Analizamos $Rank(A^*)$ con la columna $B = (0, 2, 4)^t$: $$\begin{vmatrix} 3 & -1 & 0 \ 3 & 0 & 2 \ -3 & 3 & 4 \end{vmatrix} = 0 + 6 + 0 - (0 + 18 - 12) = 6 - 6 = 0 \implies Rank(A^*) = 2$$ Como $Rank(A) = Rank(A^*) = 2 < 3$, es un **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. **Caso 4: $m = -2$** $A = \begin{pmatrix} 6 & 0 & -1 \ 6 & -3 & 0 \ -6 & 3 & 0 \end{pmatrix}$. $Rank(A)=2$ (menor $\begin{vmatrix} 6 & 0 \ 6 & -3 \end{vmatrix} = -18 \neq 0$). $A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 6 & 0 & -1 & -3 \ 6 & -3 & 0 & 2 \ -6 & 3 & 0 & -2 \end{array}\right)$. Notamos que $F_3 = -F_2$, por lo que $Rank(A^*) = 2$. Como $Rank(A) = Rank(A^*) = 2 < 3$, es un **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**.

Para resolverlo, sumamos las ecuaciones (2) y (3) del sistema original: $$[(m^2 - m)x + (2m + 1)y] + [(m - m^2)x - (2m + 1)y + (m + 2)z] = 2 + 2m + 2$$ Las $x$ e $y$ se cancelan: $$(m+2)z = 2m+4 \implies (m+2)z = 2(m+2) \implies \mathbf{z = 2}$$ Sustituimos $z=2$ en la primera ecuación: $$(m^2-m)x + (m+2)y - 2 = 1-m^2 \implies (m^2-m)x + (m+2)y = 3-m^2$$ Usamos la segunda ecuación: $(m^2-m)x + (2m+1)y = 2$. Restamos la segunda menos la primera: $$[(2m+1)-(m+2)]y = 2 - (3-m^2) \implies (m-1)y = m^2-1$$ $$y = \frac{(m-1)(m+1)}{m-1} \implies \mathbf{y = m+1}$$ Sustituimos $y$ en la segunda ecuación para hallar $x$: $$(m^2-m)x + (2m+1)(m+1) = 2 \implies m(m-1)x = 2 - (2m^2+3m+1) = -2m^2-3m+1$$ $$\mathbf{x = \frac{-2m^2-3m+1}{m(m-1)}}$$ ✅ **Resultado (SCD):** $$\boxed{\left( \frac{-2m^2-3m+1}{m(m-1)}, m+1, 2 \right)}$$

Si $m=1$, el sistema queda: $$\begin{cases} 3y - z = 0 \ 3y = 2 \ -3y + 3z = 4 \end{cases}$$ De la segunda ecuación: $y = 2/3$. Sustituyendo en la primera: $3(2/3) - z = 0 \implies z = 2$. La tercera ecuación se cumple: $-3(2/3) + 3(2) = -2+6=4$. La variable $x$ no aparece, por lo que puede tomar cualquier valor $\lambda \in \mathbb{R}$. ✅ **Resultado (m=1):** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda, 2/3, 2), \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

Si $m=-2$, el sistema queda: $$\begin{cases} 6x - z = -3 \ 6x - 3y = 2 \ -6x + 3y = -2 \end{cases}$$ La tercera ecuación es proporcional a la segunda. Despejamos $z$ e $y$ en función de $x = \lambda$: De la primera: $z = 6\lambda + 3$. De la segunda: $3y = 6\lambda - 2 \implies y = 2\lambda - 2/3$. ✅ **Resultado (m=-2):** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda, 2\lambda - 2/3, 6\lambda + 3), \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$