Optimización del tiempo de un trayecto

Para resolver este problema de optimización, lo primero es definir la variable sobre la que vamos a decidir. Llamamos $x$ a la distancia (en $\text{km}$) desde el punto $B$ hasta el punto $P$ (donde el ciclista se une a la pista). Dado que la distancia total $BC$ es de $15\text{ km}$, el dominio de nuestra variable es $x \in [0, 15]$. Analizamos las distancias recorridas: 1. **Tramo fuera de pista ($AP$):** Es la hipotenusa del triángulo rectángulo $ABP$ con catetos $8$ y $x$. Por el teorema de Pitágoras: $$d_{AP} = \sqrt{x^2 + 8^2} = \sqrt{x^2 + 64}$$ 2. **Tramo por pista ($PC$):** Es la distancia restante hasta $C$: $$d_{PC} = 15 - x$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el tiempo se calcula como $t = \frac{\text{distancia}}{\text{velocidad}}$. Calculamos los tiempos en cada tramo: - Tiempo fuera de pista ($v = 12\text{ km/h}$): $t_1 = \dfrac{\sqrt{x^2 + 64}}{12}$ - Tiempo por pista ($v = 20\text{ km/h}$): $t_2 = \dfrac{15 - x}{20}$

La función que queremos minimizar es el tiempo total $T(x)$, que es la suma de los tiempos de ambos tramos: $$T(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 64}}{12} + \frac{15 - x}{20}$$ Para facilitar la derivación, podemos escribirla como: $$T(x) = \frac{1}{12}(x^2 + 64)^{1/2} + \frac{15}{20} - \frac{x}{20}$$ $$\boxed{T(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 64}}{12} + \frac{15 - x}{20}}$$

Para hallar el mínimo, derivamos $T(x)$ respecto a $x$ e igualamos a cero: $$T'(x) = \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 64}} \cdot (2x) - \frac{1}{20}$$ Simplificando los doses: $$T'(x) = \frac{x}{12\sqrt{x^2 + 64}} - \frac{1}{20}$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$\frac{x}{12\sqrt{x^2 + 64}} = \frac{1}{20} \implies 20x = 12\sqrt{x^2 + 64}$$ Dividimos entre 4 para simplificar: $$5x = 3\sqrt{x^2 + 64}$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado: $$(5x)^2 = (3\sqrt{x^2 + 64})^2 \implies 25x^2 = 9(x^2 + 64)$$ $$25x^2 = 9x^2 + 576$$ $$16x^2 = 576 \implies x^2 = \frac{576}{16} = 36$$ Obtenemos $x = \pm 6$. Como la distancia debe ser positiva y estar en el intervalo $[0, 15]$: $$\boxed{x = 6\text{ km}}$$

Debemos comprobar que en $x = 6$ existe un mínimo. Podemos usar el criterio de la primera derivada analizando el signo de $T'(x)$ a ambos lados de $6$: $$\begin{array}{c|ccc} x & [0, 6) & 6 & (6, 15]\\ \hline T'(x) & - & 0 & +\\ \hline T(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - Si $x=0$, $T'(0) = -1/20 \lt 0$. - Si $x=10$, $T'(10) = \frac{10}{12\sqrt{164}} - \frac{1}{20} \approx 0.065 - 0.05 \gt 0$. También podríamos evaluar el tiempo en los extremos y en el punto crítico: - $T(0) = \frac{8}{12} + \frac{15}{20} = \frac{2}{3} + \frac{3}{4} \approx 1.417\text{ h}$ - $T(15) = \frac{\sqrt{15^2 + 64}}{12} + 0 = \frac{17}{12} \approx 1.417\text{ h}$ - $T(6) = \frac{\sqrt{36 + 64}}{12} + \frac{15 - 6}{20} = \frac{10}{12} + \frac{9}{20} = \frac{5}{6} + \frac{9}{20} = \frac{50 + 27}{60} = \frac{77}{60} \approx 1.283\text{ h}$ El tiempo mínimo se alcanza efectivamente en $x=6$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Debe unirse a la pista a } 6\text{ km de } B}$$