Skate Park de Baigorri: Transiciones y Derivabilidad

**(a) Calcula el punto $P$. (0,5 puntos)** La estructura original es una circunferencia de radio $r=2$ centrada en el origen, cuya ecuación es $x^2 + y^2 = 4$. Al indicarnos que la función es la parte negativa ($y=f(x)$), despejamos $y$ tomando la raíz negativa: $$y^2 = 4 - x^2 \implies y = -\sqrt{4 - x^2}$$ En este tipo de problemas de diseño (y según la especificación técnica del parque), el punto $P$ de transición se sitúa en la abscisa $x = 1$. Para hallar la ordenada de $P$, sustituimos este valor en la función: $$y_P = f(1) = -\sqrt{4 - 1^2} = -\sqrt{3}$$ Por tanto, las coordenadas del punto $P$ son: $$\boxed{P(1, -\sqrt{3})}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en una circunferencia $x^2+y^2=r^2$, la semicircunferencia inferior siempre corresponde a $y = -\sqrt{r^2 - x^2}$.

**(b) De entre todas las rectas que prolongan el arco de circunferencia $\widehat{QP}$ y pasan por $P$, calcula la ecuación de aquella que permite que la trayectoria del skate no se vea alterada al pasar de la curva a la recta (no hay baches). (2 puntos)** Para que la trayectoria "no tenga baches", la transición entre la curva (arco de circunferencia) y la recta en el punto $P$ debe ser **suave**. Matemáticamente, esto significa que la función debe ser **derivable** en $x = 1$. Esto implica dos condiciones: 1. La recta debe pasar por $P(1, -\sqrt{3})$ (continuidad). 2. La pendiente de la recta ($m$) debe ser igual a la derivada de la función en ese punto: $m = f'(1)$. 💡 **Tip:** Decir que "no hay baches" o que la transición es "suave" es la forma cotidiana de pedir que la función sea derivable en el punto de unión (la pendiente no cambia bruscamente).

Calculamos la derivada de la función $f(x) = -\sqrt{4 - x^2} = -(4 - x^2)^{1/2}$ usando la regla de la cadena: $$f'(x) = -\frac{1}{2}(4 - x^2)^{-1/2} \cdot (-2x)$$ Simplificando los términos: $$f'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{4 - x^2}} = \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}}$$ Ahora evaluamos en $x = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente: $$m = f'(1) = \frac{1}{\sqrt{4 - 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ Racionalizando el resultado: $$m = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$\boxed{m = \frac{\sqrt{3}}{3}}$$

Utilizamos la forma punto-pendiente de la recta con el punto $P(1, -\sqrt{3})$ y la pendiente $m = \frac{\sqrt{3}}{3}$: $$y - y_P = m(x - x_P)$$ $$y - (-\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}(x - 1)$$ $$y + \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{\sqrt{3}}{3}$$ Despejamos $y$ para obtener la ecuación explícita: $$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3}$$ Para operar, ponemos común denominador: $$y = \frac{\sqrt{3}x - \sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{3}$$ $$y = \frac{\sqrt{3}x - 4\sqrt{3}}{3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{4\sqrt{3}}{3}}$$