Probabilidad y Estadística 2025 Madrid
Independencia, intersección y probabilidad condicionada con complementarios
**Pregunta 4.2.** Sean $A$ y $B$ dos sucesos en un espacio muestral, $\overline A$ y $\overline B$ los correspondientes sucesos complementarios. Se sabe que $P(A)=0.7$, $P(\overline B)=0.2$ y $P(\overline A\cap\overline B)=0.1$.
a) *(0.5 puntos)* Razone si $\overline A$ y $\overline B$ son dos sucesos independientes.
b) *(1 punto)* Calcule $P(A\cap B)$.
c) *(1 punto)* Calcule $P(\overline A\mid B)$.
Paso 1
Completar los datos básicos: probabilidades de complementarios
Nos dan:
$$P(A)=0.7,\qquad P(\overline B)=0.2,\qquad P(\overline A\cap\overline B)=0.1.$$
Calculamos complementarios:
$$P(\overline A)=1-P(A)=1-0.7=0.3,$$
$$P(B)=1-P(\overline B)=1-0.2=0.8.$$
**TIP:** Antes de nada, completa siempre $P(\overline A)$ y $P(B)$.
Paso 2
Organizar la información en una tabla 2×2
Vamos a usar la descomposición del espacio muestral en cuatro celdas:
$$\begin{array}{c|ccc}
& B & \overline B & \text{Total}\\\hline
A & P(A\cap B) & P(A\cap\overline B) & P(A)=0.7\\
\overline A & P(\overline A\cap B) & P(\overline A\cap\overline B)=0.1 & P(\overline A)=0.3\\\hline
\text{Total} & P(B)=0.8 & P(\overline B)=0.2 & 1
\end{array}$$
**TIP:** Esta tabla te permite “restar por filas/columnas” para encontrar intersecciones.
Paso 3
Apartado (a): comprobar independencia de $\overline A$ y $\overline B$
**a) [0.5 puntos]** Dos sucesos $X$ e $Y$ son independientes si:
$$P(X\cap Y)=P(X)\,P(Y).$$
Aquí $X=\overline A$ e $Y=\overline B$:
$$P(\overline A)P(\overline B)=0.3\cdot 0.2=0.06.$$
Pero nos dan:
$$P(\overline A\cap\overline B)=0.1.$$
Como $0.1\ne 0.06$, **no** son independientes.
$$\boxed{\overline A\ \text{y}\ \overline B\ \text{no son independientes}}$$
Paso 4
Apartado (b): calcular $P(A\cap B)$ completando la tabla
**b) [1 punto]** Usamos las sumas por filas/columnas:
De la columna $\overline B$:
$$P(A\cap\overline B)=P(\overline B)-P(\overline A\cap\overline B)=0.2-0.1=0.1.$$
De la fila $\overline A$:
$$P(\overline A\cap B)=P(\overline A)-P(\overline A\cap\overline B)=0.3-0.1=0.2.$$
Ahora, por la fila $A$:
$$P(A\cap B)=P(A)-P(A\cap\overline B)=0.7-0.1=0.6.$$
$$\boxed{P(A\cap B)=0.6}$$
**TIP:** También podrías comprobar con la columna $B$: $0.8-0.2=0.6$.
Paso 5
Apartado (c): calcular $P(\overline A\mid B)$
**c) [1 punto]** Por definición de probabilidad condicionada:
$$P(\overline A\mid B)=\frac{P(\overline A\cap B)}{P(B)}.$$
Sustituimos $P(\overline A\cap B)=0.2$ y $P(B)=0.8$:
$$P(\overline A\mid B)=\frac{0.2}{0.8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}=0.25.$$
$$\boxed{P(\overline A\mid B)=0.25}$$
**TIP:** Simplifica la fracción si puedes: $0.2/0.8$ se ve rápido como $2/8=1/4$.