Probabilidad y Estadística 2025 Madrid
Probabilidad total y binomial en un sorteo de empleados
**Pregunta 4.1.** En una empresa tecnológica internacional el $70\%$ de los empleados son europeos. Una tercera parte de los empleados no europeos se dedica al desarrollo de *software*, labor a la que se dedican también tres de cada siete de los empleados europeos. Por el cincuenta aniversario la empresa elige al azar un empleado que será agraciado con un importante paquete de acciones de la empresa. Con estos datos se pide:
a) *(1 punto)* Calcular la probabilidad de que el empleado agraciado sea uno de los europeos que **no** realiza desarrollo de *software* en la empresa.
b) *(1.5 puntos)* En un segundo sorteo se toman al azar $10$ empleados distintos y recibirán el mismo paquete de acciones, a repartir, si como mucho $2$ de ellos desarrollan *software* para la empresa. Calcular la probabilidad de que la empresa tenga que dar este segundo paquete de acciones.
Paso 1
Definir sucesos y organizar los datos en un árbol de probabilidades
Llamamos:
- $E$: “el empleado es europeo”. Entonces $P(E)=0.7$ y $P(\overline E)=0.3$.
- $S$: “el empleado desarrolla *software*”.
Nos dan probabilidades condicionadas:
$$P(S\mid E)=\frac{3}{7},\qquad P(S\mid \overline E)=\frac{1}{3}.$$
Por tanto:
$$P(\overline S\mid E)=1-\frac{3}{7}=\frac{4}{7},\qquad P(\overline S\mid \overline E)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$$
**TIP:** Un árbol es ideal cuando hay “un grupo” (europeos/no europeos) y dentro “un tipo” (software/no software).
Paso 2
Apartado (a): calcular $P(E\cap\overline S)$
**a) [1 punto]** Queremos “europeo y no software”:
$$P(E\cap\overline S)=P(E)\,P(\overline S\mid E).$$
Sustituimos:
$$P(E\cap\overline S)=0.7\cdot\frac{4}{7}.$$
Como $0.7=\frac{7}{10}$:
$$P(E\cap\overline S)=\frac{7}{10}\cdot\frac{4}{7}=\frac{4}{10}=0.4.$$
$$\boxed{P(\text{europeo y no software})=0.4}$$
**TIP:** En un árbol, una probabilidad de “camino” es el producto de las ramas.
Paso 3
Calcular la probabilidad total de desarrollar software, $p=P(S)$
Para el apartado (b) necesitamos la probabilidad de que un empleado cualquiera haga *software*:
$$P(S)=P(S\mid E)P(E)+P(S\mid\overline E)P(\overline E).$$
Sustituimos:
$$P(S)=\frac{3}{7}\cdot 0.7+\frac{1}{3}\cdot 0.3.$$
Usamos $0.7=\frac{7}{10}$ y $0.3=\frac{3}{10}$:
$$P(S)=\frac{3}{7}\cdot\frac{7}{10}+\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{10}=\frac{3}{10}+\frac{1}{10}=\frac{4}{10}=0.4.$$
Así que:
$$p=P(S)=0.4,\qquad 1-p=P(\overline S)=0.6.$$
**TIP:** Esto es la *ley de la probabilidad total* con la partición $\{E,\overline E\}$.
Paso 4
Apartado (b): modelizar el número de empleados de software con una binomial
**b) [1.5 puntos]** Seleccionamos $n=10$ empleados y nos piden la probabilidad de que como mucho $2$ hagan software.
Si consideramos que la empresa es muy grande, podemos tratar cada selección como un “ensayo” con probabilidad $p=0.4$ de “éxito” (ser de software). Entonces:
$$X=\text{número de empleados que hacen software en el grupo} \sim \operatorname{Bin}(n=10,p=0.4).$$
La condición “como mucho 2” es $X\le 2$:
$$P(X\le 2)=\sum_{k=0}^{2}\binom{10}{k}(0.4)^k(0.6)^{10-k}.$$
**TIP:** En binomial: $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.
Paso 5
Calcular $P(X\le 2)$ y dar el resultado final
Calculamos término a término:
$$\begin{aligned}
P(X\le 2)
&=\binom{10}{0}(0.4)^0(0.6)^{10}+\binom{10}{1}(0.4)^1(0.6)^9+\binom{10}{2}(0.4)^2(0.6)^8\\
&=(0.6)^{10}+10\cdot 0.4\cdot (0.6)^9+45\cdot (0.4)^2\cdot (0.6)^8.
\end{aligned}$$
Numéricamente:
$$P(X\le 2)\approx 0.1672897536.$$
$$\boxed{P(\text{dar el segundo paquete})=P(X\le 2)\approx 0.1673\;\; (16.73\%)}$$
**TIP:** Si te piden una aproximación, redondea con 3–4 decimales y añade el porcentaje.