Geometría en el espacio 2025 Madrid
Vigas en el espacio: puntos medios, ángulos y perpendicular común
**Pregunta 3.** Sara está revisando una estructura de vigas metálicas. Para ello, utiliza un programa de cálculo estructural que lleva integrado un módulo de diseño asistido por ordenador. El programa trata las vigas como segmentos entre dos puntos. Cuando dos segmentos comparten algún punto, se fijan simulando una soldadura. Para introducir un segmento basta indicar las coordenadas de los extremos del mismo.
Sara se ha dado cuenta de que una parte de la estructura no es lo suficientemente resistente. En concreto, ha encontrado dos vigas, no soldadas entre sí, que deben reforzarse, por lo que decide añadir otra viga que, soldándola a ambas, solucione el problema. Las dos vigas en cuestión son $V_1$ cuyos extremos son los puntos $A(1, 2, -3)$ y $B(1, 6, 1)$ y $V_2$ cuyos extremos son los puntos $C(-2, -8, 7)$ y $D(10, -4, 7)$.
a) (1.25 puntos) Como primera solución, Sara decide que la viga añadida esté soldada a los puntos medios de $V_1$ y $V_2$. Calcule las coordenadas de los extremos de la viga añadida y los cosenos de los ángulos que forman dicha viga con $V_1$ y con $V_2$.
b) (1.25 puntos) Haciendo un análisis más detallado, Sara encuentra que la resistencia es mayor si la viga añadida es perpendicular tanto a $V_1$ como a $V_2$. Calcule, en el caso de que sea posible, las coordenadas de los extremos de la viga añadida si se adopta esta solución.
Paso 1
Cálculo de los puntos medios de las vigas V1 y V2
**a) (1.25 puntos) Como primera solución, Sara decide que la viga añadida esté soldada a los puntos medios de $V_1$ y $V_2$. Calcule las coordenadas de los extremos de la viga añadida y los cosenos de los ángulos que forman dicha viga con $V_1$ y con $V_2$.**
Primero, calculamos los puntos medios de los segmentos $V_1$ (extremos $A$ y $B$) y $V_2$ (extremos $C$ y $D$).
El punto medio $M_1$ de $V_1$ es:
$$M_1 = \frac{A+B}{2} = \left( \frac{1+1}{2}, \frac{2+6}{2}, \frac{-3+1}{2} \right) = (1, 4, -1)$$
El punto medio $M_2$ de $V_2$ es:
$$M_2 = \frac{C+D}{2} = \left( \frac{-2+10}{2}, \frac{-8-4}{2}, \frac{7+7}{2} \right) = (4, -6, 7)$$
💡 **Tip:** El punto medio de un segmento de extremos $P$ y $Q$ se calcula como $M = \frac{1}{2}(P+Q)$.
Los extremos de la viga añadida en esta primera solución son:
$$\boxed{M_1(1, 4, -1) \text{ y } M_2(4, -6, 7)}$$
Paso 2
Cálculo de los vectores directores y cosenos de los ángulos
Para hallar los ángulos, necesitamos los vectores directores de las vigas:
- Vector director de $V_1$: $\vec{v_1} = \vec{AB} = B - A = (1-1, 6-2, 1-(-3)) = (0, 4, 4)$. Podemos simplificar a $\vec{d_1} = (0, 1, 1)$.
- Vector director de $V_2$: $\vec{v_2} = \vec{CD} = D - C = (10-(-2), -4-(-8), 7-7) = (12, 4, 0)$. Podemos simplificar a $\vec{d_2} = (3, 1, 0)$.
- Vector de la nueva viga: $\vec{v} = \vec{M_1M_2} = M_2 - M_1 = (4-1, -6-4, 7-(-1)) = (3, -10, 8)$.
El coseno del ángulo $\alpha$ entre dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{w}$ viene dado por $\cos \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{w}|}{\|\vec{u}\| \|\vec{w}\|}$.
**Coseno con $V_1$:**
$$\cos \alpha_1 = \frac{|(0, 1, 1) \cdot (3, -10, 8)|}{\sqrt{0^2+1^2+1^2} \cdot \sqrt{3^2+(-10)^2+8^2}} = \frac{|-10+8|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{173}} = \frac{2}{\sqrt{346}}$$
**Coseno con $V_2$:**
$$\cos \alpha_2 = \frac{|(3, 1, 0) \cdot (3, -10, 8)|}{\sqrt{3^2+1^2+0^2} \cdot \sqrt{173}} = \frac{|9-10|}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{173}} = \frac{1}{\sqrt{1730}}$$
✅ **Resultados (cosenos):**
$$\boxed{\cos \alpha_1 = \frac{2}{\sqrt{346}} \approx 0.1075, \quad \cos \alpha_2 = \frac{1}{\sqrt{1730}} \approx 0.0241}$$
Paso 3
Planteamiento de la perpendicular común
**b) (1.25 puntos) Haciendo un análisis más detallado, Sara encuentra que la resistencia es mayor si la viga añadida es perpendicular tanto a $V_1$ como a $V_2$. Calcule, en el caso de que sea posible, las coordenadas de los extremos de la viga añadida si se adopta esta solución.**
Buscamos un punto $P_1$ en la recta $r_1$ (que contiene a $V_1$) y un punto $P_2$ en la recta $r_2$ (que contiene a $V_2$) tales que el vector $\vec{P_1P_2}$ sea perpendicular a los vectores directores $\vec{d_1}$ y $\vec{d_2}$.
Expresamos las rectas en forma paramétrica:
$$r_1: P_1(1, 2+\lambda, -3+\lambda)$$ utilizando el punto $A(1,2,-3)$ y $\vec{d_1}=(0,1,1)$.
$r_2: P_2(-2+3\mu, -8+\mu, 7)$ utilizando el punto $C(-2,-8,7)$ y $\vec{d_2}=(3,1,0)$.
El vector genérico entre ambas rectas es:
$$\vec{P_1P_2} = P_2 - P_1 = (-2+3\mu-1, -8+\mu-(2+\lambda), 7-(-3+\lambda)) = (3\mu-3, \mu-\lambda-10, 10-\lambda)$$
💡 **Tip:** Para que sea la perpendicular común, debe cumplirse que $\vec{P_1P_2} \cdot \vec{d_1} = 0$ y $\vec{P_1P_2} \cdot \vec{d_2} = 0$.
Paso 4
Resolución del sistema para hallar los parámetros
Imponemos las condiciones de ortogonalidad:
1) $\vec{P_1P_2} \cdot \vec{d_1} = 0 \implies (3\mu-3, \mu-\lambda-10, 10-\lambda) \cdot (0, 1, 1) = 0$
$$0 + (\mu-\lambda-10) + (10-\lambda) = 0 \implies \mu - 2\lambda = 0 \implies \mu = 2\lambda$$
2) $\vec{P_1P_2} \cdot \vec{d_2} = 0 \implies (3\mu-3, \mu-\lambda-10, 10-\lambda) \cdot (3, 1, 0) = 0$
$$3(3\mu-3) + 1(\mu-\lambda-10) + 0 = 0 \implies 9\mu - 9 + \mu - \lambda - 10 = 0 \implies 10\mu - \lambda = 19$$
Sustituimos $\mu = 2\lambda$ en la segunda ecuación:
$$10(2\lambda) - \lambda = 19 \implies 20\lambda - \lambda = 19 \implies 19\lambda = 19 \implies \lambda = 1$$
Luego, $\mu = 2(1) = 2$.
Calculamos los puntos con estos valores de los parámetros:
- Para $\lambda=1$ en $r_1$: $P_1(1, 2+1, -3+1) = (1, 3, -2)$
- Para $\mu=2$ en $r_2$: $P_2(-2+3(2), -8+2, 7) = (4, -6, 7)$
Debemos comprobar si estos puntos pertenecen a los segmentos $V_1$ y $V_2$:
- $P_1$ está en $V_1$ si el valor del parámetro $\lambda$ para el vector $\vec{AB}=(0,4,4)$ está entre 0 y 1. Como usamos $\vec{d_1}=(0,1,1)$, la longitud de $\vec{AB}$ es 4 veces $\vec{d_1}$. El valor $\lambda=1$ corresponde al punto $A + 1\vec{d_1}$, que es el cuarto del camino de $A$ a $B$. Por tanto, **está en el segmento**.
- $P_2$ está en $V_2$ de forma análoga (corresponde a la mitad del segmento $CD$).
✅ **Resultado (extremos):**
$$\boxed{P_1(1, 3, -2) \text{ y } P_2(4, -6, 7)}$$