Primitiva de una función racional y condición inicial

Queremos integrar $$f(x)=\frac{x^3-x^2}{x^2+9}.$$ Hacemos división de polinomios: - Primer término: $\dfrac{x^3}{x^2}=x$. $$x(x^2+9)=x^3+9x.$$ Restamos: $$(x^3-x^2)-(x^3+9x)=-x^2-9x.$$ - Siguiente término: $\dfrac{-x^2}{x^2}=-1$. $$-1\,(x^2+9)=-x^2-9.$$ Restamos: $$(-x^2-9x)-(-x^2-9)=-9x+9.$$ Por tanto, $$\frac{x^3-x^2}{x^2+9}=x-1+\frac{-9x+9}{x^2+9} =x-1-\frac{9x}{x^2+9}+\frac{9}{x^2+9}.$$

Integramos cada parte: $$\int (x-1)\,dx=\frac{x^2}{2}-x.$$ Para $$\int \frac{-9x}{x^2+9}\,dx,$$ tomamos $u=x^2+9\Rightarrow du=2x\,dx$: $$\int \frac{-9x}{x^2+9}\,dx=-\frac{9}{2}\int \frac{du}{u}=-\frac{9}{2}\ln(x^2+9).$$ Y para $$\int \frac{9}{x^2+9}\,dx,$$ usamos la fórmula $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)$ con $a=3$: $$\int \frac{9}{x^2+9}\,dx=9\cdot\frac{1}{3}\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right)=3\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right).$$ Así, una primitiva general es $$F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\frac{9}{2}\ln(x^2+9)+3\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right)+C.$$

Calculamos $F(0)$: $$F(0)=0-0-\frac{9}{2}\ln(9)+3\arctan(0)+C=-\frac{9}{2}\ln(9)+C.$$ Como $\ln(9)=\ln(3^2)=2\ln 3$: $$F(0)=-\frac{9}{2}\cdot 2\ln 3 + C = -9\ln 3 + C.$$ Imponiendo $F(0)=\ln 3$: $$-9\ln 3 + C = \ln 3\;\Rightarrow\; C=10\ln 3.$$

Sustituyendo el valor de $C$: $$\boxed{F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\frac{9}{2}\ln(x^2+9)+3\arctan\!\left(\frac{x}{3}\right)+10\ln 3}$$ 💡 **Tip:** En integrales racionales, casi siempre ayuda **hacer división** primero para separar en partes “fáciles” y partes tipo $\dfrac{u'}{u}$ o $\dfrac{1}{x^2+a^2}$.