Función con raíz: dominio, paridad, límites en $-\infty$ y recta tangente

**a) Dominio.** Necesitamos que el radicando sea $\ge 0$: $$x^2+3x\ge 0\quad\Longleftrightarrow\quad x(x+3)\ge 0.$$ Los ceros son $x=-3$ y $x=0$. El producto es no negativo fuera del intervalo entre los ceros: $$x\le -3\quad\text{o}\quad x\ge 0.$$ Por tanto, $$\boxed{\mathrm{Dom}(f)=(-\infty,-3]\cup[0,\infty).}$$ **Paridad.** $$f(-x)=\sqrt{(-x)^2+3(-x)}=\sqrt{x^2-3x}.$$ En general $\sqrt{x^2-3x}\ne \sqrt{x^2+3x}$, por lo que $f$ **no es par**. Tampoco es impar (no puede cumplir $f(-x)=-f(x)$ porque $f(x)\ge 0$ en su dominio). $$\boxed{\text{$f$ no es par ni impar.}}$$ 💡 **Tip:** Aunque el dominio no sea simétrico (aquí no lo es), puedes decidir la paridad comparando $f(-x)$ con $f(x)$.

**b) Primer límite.** Factorizamos $x^2$ dentro de la raíz: $$\frac{\sqrt{x^2+3x}}{x}=\frac{\sqrt{x^2\left(1+\frac{3}{x}\right)}}{x}=\frac{|x|\,\sqrt{1+\frac{3}{x}}}{x}.$$ Cuando $x\to-\infty$, se cumple $|x|=-x$. Entonces: $$\frac{|x|}{x}=\frac{-x}{x}=-1,$$ y además $\sqrt{1+\tfrac{3}{x}}\to 1$. $$\boxed{\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=-1.}$$

**b) Segundo límite.** Calculamos $$\lim_{x\to-\infty}\big(\sqrt{x^2+3x}+x\big).$$ Racionalizamos: $$\sqrt{x^2+3x}+x=\frac{(\sqrt{x^2+3x}+x)(\sqrt{x^2+3x}-x)}{\sqrt{x^2+3x}-x} =\frac{x^2+3x-x^2}{\sqrt{x^2+3x}-x} =\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}-x}.$$ En el denominador, factoriza $x^2$ y usa que $x\to-\infty$ (por tanto $|x|=-x$): $$\sqrt{x^2+3x}-x=|x|\sqrt{1+\frac{3}{x}}-x=(-x)\sqrt{1+\frac{3}{x}}-x =-x\left(\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1\right).$$ Entonces $$\sqrt{x^2+3x}+x=\frac{3x}{-x\left(\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1\right)}=-\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1}.$$ Al hacer $x\to-\infty$, $\sqrt{1+\tfrac{3}{x}}\to 1$, y queda $$\boxed{\lim_{x\to-\infty}(f(x)+x)=-\frac{3}{2}.}$$ 💡 **Tip:** En límites del tipo $\sqrt{\cdot}+x$ (o $\sqrt{\cdot}-x$), la racionalización suele ser la vía más limpia.

**c) Tangente.** Primero, el punto de tangencia: $$f(1)=\sqrt{1^2+3\cdot 1}=\sqrt{4}=2.$$ Derivamos: $$f(x)=(x^2+3x)^{1/2}\quad\Rightarrow\quad f'(x)=\frac{1}{2}(x^2+3x)^{-1/2}(2x+3)=\frac{2x+3}{2\sqrt{x^2+3x}}.$$ Evaluamos en $x=1$: $$f'(1)=\frac{2\cdot 1+3}{2\sqrt{4}}=\frac{5}{4}.$$ Ecuación de la tangente: $$y-f(1)=f'(1)(x-1)\quad\Rightarrow\quad y-2=\frac{5}{4}(x-1).$$ $$\boxed{y=\frac{5}{4}x+\frac{3}{4}.}$$ 💡 **Tip:** Para la tangente, basta con: (i) calcular $f(1)$, (ii) calcular $f'(1)$ y (iii) usar $y-y_0=m(x-x_0)$.