Álgebra 2025 Madrid
Matrices estocásticas y escalado por matrices diagonales
**Pregunta 1.2.** Una matriz cuadrada se dice estocástica si todos sus elementos son no negativos y la suma de los elementos de cada columna de la matriz es igual a 1.
a) (1.5 puntos) Consideremos la matriz estocástica
$$A=\begin{pmatrix}\tfrac13 & 0 & \tfrac12\\[2pt]\tfrac13 & \tfrac12 & \tfrac14\\[2pt]\tfrac13 & \tfrac12 & \tfrac14\end{pmatrix}.$$
Calcule todas las matrices diagonales,
$$D=\begin{pmatrix}x&0&0\\0&y&0\\0&0&z\end{pmatrix},$$
tales que $DA$ sea una matriz estocástica.
b) (1 punto) Sea $B$ una matriz estocástica de orden 3. ¿Existe alguna matriz diagonal $D$, distinta de la identidad, de tal forma que $BD$ sea estocástica?
Paso 1
Multiplicar $D\,A$ y entender qué cambia al multiplicar por la izquierda
En una matriz diagonal $D=\mathrm{diag}(x,y,z)$, al multiplicar **por la izquierda** ($DA$) se **escalan las filas** de $A$:
- La fila 1 se multiplica por $x$.
- La fila 2 se multiplica por $y$.
- La fila 3 se multiplica por $z$.
Así,
$$DA=\begin{pmatrix}
\tfrac{x}{3} & 0 & \tfrac{x}{2}\\[2pt]
\tfrac{y}{3} & \tfrac{y}{2} & \tfrac{y}{4}\\[2pt]
\tfrac{z}{3} & \tfrac{z}{2} & \tfrac{z}{4}
\end{pmatrix}.$$
Para que $DA$ sea estocástica necesitamos:
1) Todas sus entradas $\ge 0$.
2) La suma de cada columna sea 1.
Como $A$ tiene entradas no negativas, la condición 1) equivale a exigir
$$x\ge 0,\quad y\ge 0,\quad z\ge 0.$$
💡 **Tip:** Recuerda el truco:
- $DA$ (por la izquierda) escala **filas**.
- $AD$ (por la derecha) escala **columnas**.
Paso 2
Imponer sumas de columnas igual a 1 y obtener todas las soluciones
Sumamos por columnas:
**Columna 1:**
$$\frac{x}{3}+\frac{y}{3}+\frac{z}{3}=1\quad\Longrightarrow\quad x+y+z=3.$$
**Columna 2:**
$$0+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}=1\quad\Longrightarrow\quad y+z=2.$$
**Columna 3:**
$$\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{4}=1\quad\Longrightarrow\quad 2x+y+z=4.$$
Usando $y+z=2$ en $2x+y+z=4$:
$$2x+2=4\;\Longrightarrow\; x=1.$$
Entonces $x+y+z=3$ se convierte en
$$1+y+z=3\;\Longrightarrow\; y+z=2,$$
que coincide con la ecuación de la columna 2.
Por tanto, las soluciones vienen dadas por:
$$x=1,\qquad y+z=2,\qquad y\ge 0,\ z\ge 0.$$
Podemos parametrizar con $t=y$:
$$y=t,\quad z=2-t,\quad 0\le t\le 2.$$
$$\boxed{D=\mathrm{diag}(1,t,2-t),\ \ t\in[0,2].}$$
Paso 3
Apartado b): caracterizar cuándo $BD$ sigue siendo estocástica
**b) Sea $B$ estocástica (orden 3) y $D=\mathrm{diag}(d_1,d_2,d_3)$.**
Multiplicar por la **derecha** ($BD$) escala las **columnas** de $B$:
- La columna 1 se multiplica por $d_1$.
- La columna 2 se multiplica por $d_2$.
- La columna 3 se multiplica por $d_3$.
Como $B$ es estocástica, la suma de cada columna de $B$ es 1. Por tanto, en $BD$:
- Suma de la columna 1: $d_1\cdot 1=d_1$.
- Suma de la columna 2: $d_2\cdot 1=d_2$.
- Suma de la columna 3: $d_3\cdot 1=d_3$.
Para que $BD$ sea estocástica necesitamos que cada suma vuelva a ser 1, es decir:
$$d_1=1,\quad d_2=1,\quad d_3=1.$$
Así, necesariamente $D=I$.
$$\boxed{\text{No: la única diagonal }D\text{ con }BD\text{ estocástica es }D=I.}$$