Álgebra 2025 Madrid
Sistema lineal con parámetro: clasificación por determinante y solución para $\lambda=2$
Pregunta 1.1. Sea el siguiente sistema de ecuaciones
$$\begin{cases}
\lambda x-y+3z=2\\
3x-2y-z=9\\
5x-3y+\lambda z=11
\end{cases}$$
a) (1.5 puntos) Decida en función de los valores del parámetro real $\lambda$ en qué casos el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.
b) (1 punto) Resuelva el sistema en el caso $\lambda=2$.
Paso 1
Matriz del sistema y criterio con determinante
Escribimos el sistema como $A(\lambda)\,\mathbf{x}=\mathbf{b}$, con
$$A(\lambda)=\begin{pmatrix}
\lambda & -1 & 3\\
3 & -2 & -1\\
5 & -3 & \lambda
\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}2\\9\\11\end{pmatrix}.$$
Recordatorio:
- Si $\det A(\lambda)\ne 0$ $\Rightarrow$ **compatible determinado** (solución única).
- Si $\det A(\lambda)=0$ hay que mirar rangos (puede ser indeterminado o incompatible).
💡 **Tip:** En $3\times 3$, el determinante es la forma más rápida de localizar los valores "problemáticos" de $\lambda$.
Paso 2
Calcular $\det A(\lambda)$
Calculamos el determinante de
$$A(\lambda)=\begin{pmatrix}
\lambda & -1 & 3\\
3 & -2 & -1\\
5 & -3 & \lambda
\end{pmatrix}.$$
Al desarrollar (por ejemplo por la primera fila) se obtiene:
$$\det A(\lambda)=-2(\lambda-2)(\lambda+2).$$
Por tanto:
$$\det A(\lambda)=0 \iff \lambda\in\{-2,\,2\}.$$
✅ Para $\lambda\ne\pm 2$ el sistema tiene **solución única**.
Paso 3
Clasificar para $\lambda\neq\pm 2$
Si $\lambda\neq 2$ y $\lambda\neq -2$, entonces $\det A(\lambda)\neq 0$.
✅ **Conclusión:**
$$\boxed{\lambda\neq\pm 2\;\Rightarrow\;\text{sistema compatible determinado (única solución).}}$$
Paso 4
Estudiar el caso $\lambda=2$ mediante reducción (rangos)
Sustituimos $\lambda=2$:
$$\begin{cases}
2x-y+3z=2\\
3x-2y-z=9\\
5x-3y+2z=11
\end{cases}$$
Hacemos eliminación:
De (1): $y=2x+3z-2$.
Sustituimos en (2):
$$3x-2(2x+3z-2)-z=9\Rightarrow 3x-4x-6z+4-z=9$$
$$\Rightarrow -x-7z=5\Rightarrow x=-7z-5.$$
Sustituimos en la expresión de $y$:
$$y=2(-7z-5)+3z-2=-14z-10+3z-2=-11z-12.$$
Comprobación rápida en (3):
$$5x-3y+2z=5(-7z-5)-3(-11z-12)+2z=-35z-25+33z+36+2z=11,$$
se cumple para todo $z$.
✅ Hay infinitas soluciones (un parámetro). Por tanto, para $\lambda=2$ el sistema es **compatible indeterminado**.
Paso 5
Estudiar el caso $\lambda=-2$ (aparece contradicción)
Sustituimos $\lambda=-2$:
$$\begin{cases}
-2x-y+3z=2\\
3x-2y-z=9\\
5x-3y-2z=11
\end{cases}$$
Reducimos con (1): $y=-2x+3z-2$.
En (2):
$$3x-2(-2x+3z-2)-z=9\Rightarrow 3x+4x-6z+4-z=9$$
$$\Rightarrow 7x-7z=5\Rightarrow x-z=\frac{5}{7}.$$
En (3):
$$5x-3(-2x+3z-2)-2z=11\Rightarrow 5x+6x-9z+6-2z=11$$
$$\Rightarrow 11x-11z=5\Rightarrow x-z=\frac{5}{11}.$$
Como $\frac{5}{7}\ne\frac{5}{11}$, hay contradicción.
✅ Para $\lambda=-2$ el sistema es **incompatible** (no tiene solución).
Paso 6
Apartado b: solución del sistema para $\lambda=2$
**b) (1 punto)**
Del estudio anterior para $\lambda=2$ obtenemos una familia de soluciones parametrizada por $z=t$:
$$z=t,$$
$$x=-7t-5,$$
$$y=-11t-12.$$
✅ **Solución general (\(\lambda=2\)):**
$$\boxed{(x,y,z)=(-7t-5,\,-11t-12,\,t),\quad t\in\mathbb{R}.}$$
💡 **Tip:** Cuando el determinante es 0 y no hay contradicción, lo normal es que quede al menos una variable libre.