Probabilidad y Estadística 2025 Madrid
Retrasos de trenes: binomial y aproximación normal
Pregunta 4. Una compañía ferroviaria tiene el siguiente compromiso de puntualidad en sus trenes de larga distancia: si un tren llega a destino con un retraso de entre 30 y 60 minutos devuelve la mitad del importe del billete a sus usuarios. Si el retraso es de más de una hora, devuelve el importe completo del billete. En los trayectos entre las ciudades $A$ y $B$, según la compañía, el 80 por ciento de los trenes llegan puntuales o con retraso inferior a la media hora, el 15 por ciento con retraso de entre 30 y 60 minutos y el resto con retraso superior a una hora.
a) (1 punto) Un usuario enfurecido escribe este post en una red social: "De los cuarenta trayectos que hice el año pasado entre $A$ y $B$, en diez trayectos llegué con retraso de más de una hora. Según mis cálculos, esto debería haber ocurrido con una probabilidad menor de una entre un millón". ¿Ha hecho bien los cálculos el usuario enfurecido?
b) (1.5 puntos) En enero de 2025 la compañía ha realizado seis trayectos entre $A$ y $B$ cada día. Asumiendo la veracidad de los datos de la compañía y aproximando por una normal, calcular la probabilidad de que a lo mucho en una sexta parte de los trayectos la compañía ferroviaria haya tenido que devolver dinero a los usuarios.
Paso 1
Traducir el enunciado a probabilidades
En cada trayecto entre $A$ y $B$ hay tres posibilidades según la compañía:
- Puntual o retraso $<30$ min: $0{,}80$.
- Retraso entre $30$ y $60$ min: $0{,}15$ (devuelve **la mitad**).
- Retraso $>60$ min: $1-0{,}80-0{,}15=0{,}05$ (devuelve **todo**).
💡 **Tip:** El "resto" es siempre $1$ menos lo ya asignado: aquí $0{,}05$.
Paso 2
Apartado a: variable binomial para retrasos de más de una hora
**a) (1 punto)**
Sea $X$ el número de trayectos (de 40) con retraso de más de una hora.
Cada trayecto es (según el modelo) un ensayo independiente con:
$$\mathbb{P}(\text{retraso}>60\text{ min})=0{,}05.$$
Por tanto:
$$X\sim\text{Binomial}(n=40,\,p=0{,}05).$$
El usuario observó **10** retrasos de más de una hora. Para medir lo "raro" que es, lo habitual es calcular:
$$\mathbb{P}(X\ge 10).$$
✅ Objetivo: comparar ese valor con $10^{-6}$ ("una entre un millón").
Paso 3
Calcular $\mathbb{P}(X\ge 10)$ y comparar con "una entre un millón"
Por definición de binomial:
$$\mathbb{P}(X=k)=\binom{40}{k}(0{,}05)^k(0{,}95)^{40-k}.$$
Luego:
$$\mathbb{P}(X\ge 10)=\sum_{k=10}^{40}\binom{40}{k}(0{,}05)^k(0{,}95)^{40-k}.$$
Al evaluar la suma (con calculadora/hoja de cálculo) se obtiene aproximadamente:
$$\mathbb{P}(X\ge 10)\approx 2{,}07\cdot 10^{-5}.$$
Esto equivale a unas:
$$\frac{1}{2{,}07\cdot 10^{-5}}\approx 4{,}8\cdot 10^{4}$$
es decir, **aprox. 1 entre 48.000**, no 1 entre 1.000.000.
💡 **Tip:** Ojo con los órdenes de magnitud: $10^{-5}$ es **100 veces** más grande que $10^{-7}$.
✅ **Conclusión (a):** No, el usuario **no** ha hecho bien los cálculos: la probabilidad no es menor que una entre un millón.
Paso 4
Apartado b: ¿cuándo la compañía devuelve dinero?
**b) (1,5 puntos)**
La compañía devuelve dinero si el retraso es de al menos 30 min, es decir:
- entre $30$ y $60$ min (prob. $0{,}15$), o
- más de $60$ min (prob. $0{,}05$).
Por tanto, para un trayecto:
$$p=\mathbb{P}(\text{devolución})=0{,}15+0{,}05=0{,}20.$$
En enero hay 31 días y se hacen 6 trayectos al día, luego el número total de trayectos es:
$$n=31\cdot 6=186.$$
Sea $Y$ el número de trayectos con devolución en enero. Entonces:
$$Y\sim\text{Binomial}(n=186,\,p=0{,}20).$$
"A lo mucho en una sexta parte" significa:
$$Y\le \frac{186}{6}=31.$$
Paso 5
Aproximación normal con corrección por continuidad
Aproximamos $Y$ por una normal:
$$Y\approx \mathcal{N}(\mu,\sigma^2),\quad \mu=np,\;\sigma=\sqrt{np(1-p)}.$$
Calculamos:
$$\mu=186\cdot 0{,}20=37{,}2,$$
$$\sigma=\sqrt{186\cdot 0{,}20\cdot 0{,}80}=\sqrt{29{,}76}\approx 5{,}46.$$
Con corrección por continuidad:
$$\mathbb{P}(Y\le 31)\approx \mathbb{P}\big(N\le 31{,}5\big),\quad N\sim\mathcal{N}(37{,}2,\,5{,}46^2).$$
Tipificamos:
$$Z=\frac{N-\mu}{\sigma}\sim\mathcal{N}(0,1),\qquad z=\frac{31{,}5-37{,}2}{5{,}46}\approx -1{,}045.$$
Entonces:
$$\mathbb{P}(Y\le 31)\approx \Phi(-1{,}045)\approx 0{,}148.$$
💡 **Tip:** La aproximación normal suele ser razonable si $np\ge 5$ y $n(1-p)\ge 5$ (aquí $37{,}2$ y $148{,}8$).
✅ **Resultado (b):**
$$\boxed{\mathbb{P}(\text{devoluciones}\le 31)\approx 0{,}15}$$