Segmento en el espacio: punto por razón de distancias y plano perpendicular

**a) (1.5 puntos) Hallar un punto $P\in S$ tal que $d(P,A)=2\,d(P,B)$.** El vector director del segmento es $$\overrightarrow{AB}=B-A=(1,0,1)-(0,1,0)=(1,-1,1).$$ Un punto genérico del segmento se escribe como $$P(t)=A+t\overrightarrow{AB}=(0,1,0)+t(1,-1,1)=(t,\ 1-t,\ t),\qquad 0\le t\le 1.$$ 💡 **Tip:** Para condiciones de distancias en un segmento, parametrizar con $P(t)=A+t(B-A)$ suele convertir el problema en una ecuación sencilla en $t$.

Calculamos los vectores desde $A$ y desde $B$: - $\overrightarrow{AP}=P-A=(t,1-t,t)-(0,1,0)=(t,-t,t)$, luego $$d(P,A)^2=|\overrightarrow{AP}|^2=t^2+(-t)^2+t^2=3t^2.$$ - $\overrightarrow{BP}=P-B=(t,1-t,t)-(1,0,1)=(t-1,1-t,t-1)$, luego $$d(P,B)^2=|\overrightarrow{BP}|^2=(t-1)^2+(1-t)^2+(t-1)^2.$$ Como $(1-t)^2=(t-1)^2$, entonces $$d(P,B)^2=3(t-1)^2.$$ Así, $$d(P,A)=\sqrt{3}\,t,\qquad d(P,B)=\sqrt{3}\,(1-t)$$ (porque $0\le t\le 1$).

Imponemos $$\sqrt{3}\,t=2\,\sqrt{3}\,(1-t).$$ Dividimos entre $\sqrt{3}$: $$t=2(1-t)=2-2t.$$ Sumamos $2t$ a ambos lados: $$3t=2\ \Rightarrow\ t=\frac{2}{3}.$$ Sustituimos en $P(t)$: $$P\left(\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{2}{3},\ 1-\frac{2}{3},\ \frac{2}{3}\right)=\left(\frac{2}{3},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3}\right).$$ $$\boxed{P\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)}$$

**b) (1 punto) Hallar un plano perpendicular a $S$ que pase por el punto medio de $S$.** El punto medio del segmento $S$ es $$M=\frac{A+B}{2}=\left(\frac{0+1}{2},\frac{1+0}{2},\frac{0+1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right).$$ Un plano perpendicular al segmento $S$ debe tener como vector normal un vector **paralelo** a la dirección de $S$, es decir, podemos tomar $$\vec n=\overrightarrow{AB}=(1,-1,1).$$ 💡 **Tip:** Si un plano es perpendicular a una recta, el vector director de la recta puede usarse como **normal del plano**.

Usamos la ecuación punto-normal: $$\vec n\cdot\big((x,y,z)-M\big)=0.$$ Es decir, $$(1,-1,1)\cdot\left(x-\frac{1}{2},\ y-\frac{1}{2},\ z-\frac{1}{2}\right)=0.$$ Desarrollamos: $$\left(x-\frac{1}{2}\right)-\left(y-\frac{1}{2}\right)+\left(z-\frac{1}{2}\right)=0.$$ Simplificamos: $$x-\frac{1}{2}-y+\frac{1}{2}+z-\frac{1}{2}=0\ \Rightarrow\ x-y+z-\frac{1}{2}=0.$$ Por tanto, $$\boxed{x-y+z=\frac{1}{2}}$$ (Equivalente: $\boxed{2x-2y+2z-1=0}$).