Recta y plano: distancia, proyección ortogonal y volumen por intersecciones

**a) (0.75 puntos) Calcular la distancia de la recta $r$ al plano $\pi$.** De la forma simétrica $$r:\ \frac{x-1}{2}=\frac{y}{0}=\frac{z-2}{1},$$ se deduce que la recta pasa por el punto $$P_0=(1,0,2)$$ y tiene vector director $$\vec v=(2,0,1).$$ (El cociente $\dfrac{y}{0}$ indica que $y$ es constante; en este caso $y=0$.) 💡 **Tip:** Para distancia recta-plano, primero comprueba si la recta corta al plano o si es paralela. Si es paralela, la distancia recta-plano es la misma que la distancia de **cualquier punto** de la recta al plano.

El plano $\pi: x+2y-2z=1$ tiene vector normal $$\vec n=(1,2,-2).$$ Comprobamos el paralelismo calculando el producto escalar: $$\vec v\cdot \vec n=(2,0,1)\cdot(1,2,-2)=2\cdot1+0\cdot2+1\cdot(-2)=2-2=0.$$ Como $\vec v\cdot\vec n=0$, la recta $r$ es **paralela** al plano $\pi$. Entonces $$d(r,\pi)=d(P_0,\pi).$$ Pasamos el plano a forma $Ax+By+Cz+D=0$: $$x+2y-2z-1=0.$$ Sustituimos $P_0=(1,0,2)$: $$1+2\cdot0-2\cdot2-1=1-4-1=-4.$$ Luego $$d(r,\pi)=\frac{|{-4}|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=\frac{4}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{4}{3}.$$ $$\boxed{d(r,\pi)=\frac{4}{3}}$$

**b) (0.75 puntos) Hallar la proyección ortogonal del punto $A$ sobre la recta $r$.** Tomamos la recta en paramétricas: $$r(t)=P_0+t\vec v=(1,0,2)+t(2,0,1)=(1+2t,\ 0,\ 2+t).$$ La proyección ortogonal $H$ de $A$ sobre $r$ es el punto de $r$ tal que el vector $\overrightarrow{P_0H}=t\vec v$ es la proyección de $\overrightarrow{P_0A}$ sobre $\vec v$. Calculamos primero: $$\overrightarrow{P_0A}=A-P_0=(1,2,3)-(1,0,2)=(0,2,1).$$ 💡 **Tip:** En una recta $P_0+t\vec v$, el parámetro del pie de la perpendicular desde $A$ es $$t=\frac{(A-P_0)\cdot\vec v}{\vec v\cdot\vec v}.$$

Aplicamos la fórmula: - Numerador: $$ (A-P_0)\cdot\vec v=(0,2,1)\cdot(2,0,1)=0\cdot2+2\cdot0+1\cdot1=1.$$ - Denominador: $$\vec v\cdot\vec v=(2,0,1)\cdot(2,0,1)=2^2+0^2+1^2=5.$$ Por tanto, $$t=\frac{1}{5}.$$ El punto proyectado es $$H=P_0+t\vec v=(1,0,2)+\frac{1}{5}(2,0,1)=\left(1+\frac{2}{5},\ 0,\ 2+\frac{1}{5}\right)=\left(\frac{7}{5},\ 0,\ \frac{11}{5}\right).$$ $$\boxed{\operatorname{proj}_r(A)=H\left(\frac{7}{5},0,\frac{11}{5}\right)}$$

**c) (1 punto) Calcular el volumen del tetraedro definido por los interceptos de un plano paralelo a $\pi$ que pasa por $A$.** Si un plano es **paralelo** a $\pi: x+2y-2z=1$, tiene el mismo normal $\vec n=(1,2,-2)$, así que su ecuación es $$x+2y-2z=k.$$ Como pasa por $A(1,2,3)$: $$1+2\cdot2-2\cdot3=1+4-6=-1,$$ por lo que $k=-1$. Así, el plano pedido es $$\boxed{x+2y-2z=-1}$$ 💡 **Tip:** Dos planos paralelos tienen el **mismo vector normal**; solo cambia el término independiente.

Hallamos los interceptos del plano $x+2y-2z=-1$: - Con el eje $OX$ (poner $y=0$, $z=0$): $$x=-1\ \Rightarrow\ X=(-1,0,0).$$ - Con el eje $OY$ (poner $x=0$, $z=0$): $$2y=-1\ \Rightarrow\ y=-\frac{1}{2}\ \Rightarrow\ Y=\left(0,-\frac{1}{2},0\right).$$ - Con el eje $OZ$ (poner $x=0$, $y=0$): $$-2z=-1\ \Rightarrow\ z=\frac{1}{2}\ \Rightarrow\ Z=\left(0,0,\frac{1}{2}\right).$$

El tetraedro tiene vértices $O(0,0,0)$, $X(-1,0,0)$, $Y\left(0,-\frac{1}{2},0\right)$ y $Z\left(0,0,\frac{1}{2}\right)$. Usamos el producto mixto. El volumen del paralelepípedo generado por $\overrightarrow{OX}$, $\overrightarrow{OY}$ y $\overrightarrow{OZ}$ es $$\left|\,\overrightarrow{OX}\cdot\bigl(\overrightarrow{OY}\times\overrightarrow{OZ}\bigr)\,\right|.$$ El volumen del tetraedro es la sexta parte: $$V=\frac{1}{6}\left|\,\overrightarrow{OX}\cdot\bigl(\overrightarrow{OY}\times\overrightarrow{OZ}\bigr)\,\right|.$$ Aquí: $$\overrightarrow{OX}=(-1,0,0),\quad \overrightarrow{OY}=\left(0,-\frac{1}{2},0\right),\quad \overrightarrow{OZ}=\left(0,0,\frac{1}{2}\right).$$ Calculamos el producto vectorial: $$\overrightarrow{OY}\times\overrightarrow{OZ}=\left(0,-\frac{1}{2},0\right)\times\left(0,0,\frac{1}{2}\right)=\left(-\frac{1}{4},0,0\right).$$ Ahora el producto escalar: $$\overrightarrow{OX}\cdot(\overrightarrow{OY}\times\overrightarrow{OZ})=(-1,0,0)\cdot\left(-\frac{1}{4},0,0\right)=\frac{1}{4}.$$ Por tanto, $$V=\frac{1}{6}\left|\frac{1}{4}\right|=\frac{1}{24}.$$ $$\boxed{V=\frac{1}{24}}$$