Área bajo una parábola y rectángulo de área máxima inscrito

**a) (1 punto) Halle el área de la región acotada delimitada por $y=0$ y la gráfica de la función $f(x)$.** La región acotada se encuentra donde la parábola está por encima del eje $OX$, es decir, donde $f(x)\ge 0$. Buscamos los puntos de corte con $y=0$: $$-x^2+4=0\quad\Rightarrow\quad x^2=4\quad\Rightarrow\quad x=\pm 2.$$ Así, el recinto está entre $x=-2$ y $x=2$ y el área se calcula con: $$A=\int_{-2}^{2}\big((-x^2+4)-0\big)\,dx=\int_{-2}^{2}(-x^2+4)\,dx.$$ 💡 **Tip:** El área entre una curva y el eje $OX$ en $[a,b]$ es $\int_a^b |f(x)|\,dx$; aquí no hace falta valor absoluto porque $f(x)\ge 0$ en $[-2,2]$.

Calculamos una primitiva: $$\int(-x^2+4)\,dx=-\frac{x^3}{3}+4x.$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$A=\left[-\frac{x^3}{3}+4x\right]_{-2}^{2}.$$ Evaluamos en $x=2$: $$-\frac{2^3}{3}+4\cdot 2=-\frac{8}{3}+8=\frac{16}{3}.$$ Evaluamos en $x=-2$: $$-\frac{(-2)^3}{3}+4(-2)=\frac{8}{3}-8=-\frac{16}{3}.$$ Restamos: $$A=\frac{16}{3}-\left(-\frac{16}{3}\right)=\frac{32}{3}.$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{\displaystyle A=\frac{32}{3}}$$

**b) (1,5 puntos) Halle las dimensiones del rectángulo de mayor área apoyado sobre el eje $OX$ que se puede inscribir en la parábola. ¿Cuál es el área de dicho rectángulo?** Por simetría, tomamos un punto del primer cuadrante sobre la parábola: $$P(x,\,y)\quad\text{con}\quad y=f(x)=4-x^2,\qquad 0\le x\le 2.$$ El rectángulo está apoyado en $OX$ y tiene lados paralelos a los ejes, así que sus vértices pueden ser: $$(-x,0),\ (x,0),\ (x,4-x^2),\ (-x,4-x^2).$$ - **Base**: desde $-x$ hasta $x$, mide $2x$. - **Altura**: mide $4-x^2$. Entonces el área en función de $x$ es: $$A(x)=\text{base}\cdot\text{altura}=2x(4-x^2)=8x-2x^3,\qquad 0\le x\le 2.$$ 💡 **Tip:** En optimización geométrica es clave expresar todo con una sola variable (aquí, $x$).

Derivamos para maximizar $A(x)$: $$A'(x)=(8x-2x^3)'=8-6x^2.$$ Buscamos puntos críticos: $$8-6x^2=0\Rightarrow 6x^2=8\Rightarrow x^2=\frac{4}{3}\Rightarrow x=\frac{2}{\sqrt{3}}$$ (tomamos el positivo porque $x\ge 0$). Comprobamos que es máximo (segunda derivada): $$A''(x)=(8-6x^2)'=-12x,$$ y como $$A''\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\lt 0,$$ el punto crítico da un **máximo**. Dimensiones del rectángulo: - Base: $$2x=2\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}.$$ - Altura: $$4-x^2=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}.$$ Área máxima: $$A_{\max}=2x(4-x^2)=\frac{4}{\sqrt{3}}\cdot\frac{8}{3}=\frac{32}{3\sqrt{3}}=\frac{32\sqrt{3}}{9}.$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{\text{Base }=\frac{4}{\sqrt{3}},\ \text{altura }=\frac{8}{3},\ \text{área máxima }=\frac{32}{3\sqrt{3}}=\frac{32\sqrt{3}}{9}.}$$ 💡 **Tip:** En problemas de máximo/mínimo, además de derivar, no olvides que la variable debe respetar el intervalo geométrico (aquí $0\le x\le 2$).