Límite, monotonía y asíntotas con funciones exponenciales y racionales

**a) (1 punto) Calcule el límite $\displaystyle \lim_{x\to 1}\big(f(x)-g(x)\big)$.** Partimos de $$f(x)=\frac{e}{e^x-e},\qquad g(x)=\frac{1}{x-1}.$$ En $f(x)$ sacamos factor $e$ del denominador: $$e^x-e=e\,(e^{x-1}-1).$$ Entonces $$f(x)=\frac{e}{e\,(e^{x-1}-1)}=\frac{1}{e^{x-1}-1}.$$ Ahora, para estudiar el límite cuando $x\to 1$, hacemos el cambio $$h=x-1\quad\Rightarrow\quad h\to 0.$$ Con esto, el límite queda: $$\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{e^{x-1}-1}-\frac{1}{x-1}\right)=\lim_{h\to 0}\left(\frac{1}{e^{h}-1}-\frac{1}{h}\right).$$ 💡 **Tip:** Cuando aparece $e^{x-1}-1$ con $x\to 1$, el cambio $h=x-1$ simplifica mucho la notación.

Unificamos en una sola fracción: $$\frac{1}{e^{h}-1}-\frac{1}{h}=\frac{h-(e^{h}-1)}{h(e^{h}-1)}=\frac{h-e^{h}+1}{h(e^{h}-1)}.$$ Definimos: $$N(h)=h-e^{h}+1,\qquad D(h)=h(e^{h}-1).$$ Al hacer $h\to 0$: $$N(0)=0-1+1=0,\qquad D(0)=0\cdot(1-1)=0,$$ tenemos una indeterminación $\dfrac{0}{0}$, así que aplicamos **la regla de L'Hôpital**: $$\lim_{h\to 0}\frac{N(h)}{D(h)}=\lim_{h\to 0}\frac{N'(h)}{D'(h)}.$$ Derivamos: $$N'(h)=1-e^{h},$$ $$D'(h)=(e^{h}-1)+h\,e^{h}.$$ Al sustituir $h=0$ sigue siendo $\dfrac{0}{0}$, así que aplicamos L'Hôpital otra vez: $$\lim_{h\to 0}\frac{1-e^{h}}{(e^{h}-1)+h e^{h}}=\lim_{h\to 0}\frac{(1-e^{h})'}{\big((e^{h}-1)+h e^{h}\big)'}.$$ Volvemos a derivar: $$ (1-e^{h})'=-e^{h},$$ $$\big((e^{h}-1)+h e^{h}\big)'=e^{h}+\big(h e^{h}\big)'=e^{h}+\big(e^{h}+h e^{h}\big)=(2+h)e^{h}.$$ Ahora ya podemos sustituir $h=0$: $$\lim_{h\to 0}\frac{-e^{h}}{(2+h)e^{h}}=\frac{-1}{2}.$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{\displaystyle \lim_{x\to 1}\big(f(x)-g(x)\big)=-\frac{1}{2}}$$ 💡 **Tip:** En límites tipo $\frac{0}{0}$, L'Hôpital se aplica derivando numerador y denominador; si vuelve a salir $\frac{0}{0}$, se puede aplicar de nuevo.

**b) (0,75 puntos) Estudie el crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ en su dominio.** La función es $$f(x)=\frac{e}{e^x-e}.$$ El denominador se anula cuando: $$e^x-e=0\iff e^x=e\iff x=1.$$ Por tanto, el dominio es: $$\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}.$$ Derivamos usando $f(x)=e\,(e^x-e)^{-1}$ (regla de la cadena): $$f'(x)=e\cdot(-1)(e^x-e)^{-2}\cdot (e^x)'=e\cdot(-1)(e^x-e)^{-2}\cdot e^x.$$ Así: $$\boxed{\displaystyle f'(x)=-\frac{e\,e^x}{(e^x-e)^2}=-\frac{e^{x+1}}{(e^x-e)^2}}.$$ 💡 **Tip:** Si $f(x)=\dfrac{k}{u(x)}$, entonces $f'(x)=-k\,\dfrac{u'(x)}{u(x)^2}$.

Estudiamos el signo de $$f'(x)=-\frac{e^{x+1}}{(e^x-e)^2}.$$ - $e^{x+1}\gt 0$ para todo $x$. - $(e^x-e)^2\gt 0$ para todo $x\ne 1$. - Hay un signo “$-$” delante. Por tanto: $$f'(x)\lt 0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}.$$ ✅ **Conclusión (apartado b):** $$\boxed{\;f\text{ es estrictamente decreciente en }(-\infty,1)\text{ y en }(1,+\infty).\;}$$ 💡 **Tip:** Una función es creciente donde $f'(x)\gt 0$ y decreciente donde $f'(x)\lt 0$; si el dominio tiene “cortes” (aquí $x=1$), el estudio se hace por intervalos.

**c) (0,75 puntos) Estudie las asíntotas de la función $g(x)+g(-x)$.** Tenemos $$g(x)=\frac{1}{x-1}.$$ Sustituimos $-x$: $$g(-x)=\frac{1}{-x-1}=-\frac{1}{x+1}.$$ Sumamos: $$g(x)+g(-x)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2}{x^2-1}.$$ Por tanto, estudiamos $$h(x)=\frac{2}{x^2-1},$$ con dominio $$\operatorname{Dom}(h)=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}.$$ 💡 **Tip:** Simplificar primero ayuda a detectar rápido dónde puede haber asíntotas verticales (ceros del denominador).

1) **Asíntotas verticales**: ocurren donde el denominador se anula y el numerador no. Como $$x^2-1=0\iff x=\pm 1$$ y el numerador es $2\ne 0$, hay dos asíntotas verticales: $$\boxed{x=1}\qquad\text{y}\qquad\boxed{x=-1}.$$ 2) **Asíntota horizontal**: calculamos el límite cuando $x\to\pm\infty$: $$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2}{x^2-1}=0.$$ Así, la asíntota horizontal es: $$\boxed{y=0}.$$ 3) **Asíntotas oblicuas**: no hay, porque la función ya tiende a $0$ (horizontal) y no a una recta $mx+n$ con $m\ne 0$. ✅ **Conclusión (apartado c):** $$\boxed{\text{Asíntotas verticales: }x=\pm 1\quad\text{y horizontal: }y=0.}$$ 💡 **Tip:** Para una función racional $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$, si $\deg Q\gt \deg P$, la asíntota horizontal es $y=0$.